[論文レビュー] On Hopf algebra structures over operads

Ralf Holtkamp|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 60被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$π$-ホップ代数—オペラッド上に構造を持つホップ代数—の一般枠組みを導入し、木型、マグマ型、無限小ホップ代数などの非古典的タイプへのホップ代数理論の拡張を実現する。ホッフコホモロジーに類似した微分複体を用いたコホモロジー的障害理論を確立し、切断された群法則の拡張が、$H^{3}_{r+1}$ および $H^{2}_{r+1}$ のコホモロジー群によって障害を受けることを示している。主な結果として、原始的元に関する結果と、ピカード＝バーキンホフ＝ワイトマン定理の非結合的類似が得られている。

ABSTRACT

We study P-Hopf algebras with one coassociative cooperation over different operads P. For example, we consider the Loday-Ronco dendriform Hopf algebra and its isomorphisms with the noncommutative planar Connes-Kreimer Hopf algebra and with a Hopf algebra of Brouder and Frabetti. We focus on Hopf algebra structures over free operads, like the operad Mag freely generated by a non-commutative non-associative binary operation, and the operad of Stasheff polytopes. In order to describe the operads of primitive elements we prove an analogon of the Poincare-Birkhoff-Witt theorem. We determine the generating series for these operads and show that the dimension of PrimMag(n) is related to the log-Catalan numbers. By a recursive method we show how, for small n, these spaces can be described as modules over the symmetric groups.

研究の動機と目的

• オペラッド上での$π$-ホップ代数の定義を通じて、結合的でもコモジュラルでもない構造を含む、古典的タイプを超えたホップ代数理論の一般化を図ること。
• オペラッド的設定における切断群法則（$r$-チャンク）の拡張可能性と一意性を調べるためのコホモロジー的フレームワークの構築。
• マグマ型$\mathcal{M}ag$、コマグマ型$\mathcal{C}mg$、アソシエイティブ型$\mathcal{A}s$などのオペラッドに対して、$π$-ホップ代数における原始的元を特徴づけ、非結合的リー理論的構成と関連付けること。
• $π$-ホップ代数に対して非結合的ピカード＝バーキンホフ＝ワイトマン定理の類似を確立すること、特にマグマ型オペラッドに対して。

提案手法

• オペラッド$π$上の代数としての$π$-ホップ代数を定義し、テンソル積構造を許容するためのオペラッドの要件を満たす共作用を備えること。
• 自由$π$-代数のテンソル冪上に、$\partial_i$ が削減された共加法$\Delta_a'$ を含む微分複体$\delta_n = \sum_{i=1}^n (-1)^i \partial_i$ を構成すること。
• 拡張の障害を測るためのコホモロジー群$H^n_r = \ker(\delta_{n,r}) / \operatorname{im}(\delta_{n-1,r})$ を定義し、$r$-チャンクから$(r+1)$-チャンクへの群法則の拡張の障害を測ること。
• $π$-ホップ代数におけるラザール＝リー理論を用い、原始的元を非結合的リー代数と関連づけ、マグマ型の場合のハウスドルフ級数を導出すること。
• オペラッド的枠組みを適用し、$π$-ホップ代数における一般化されたテイラー展開とシャッフル乗法則を導出すること。
• 双対性を用い、$π$-代数とその双対との間で、$\mathcal{M}ag$ における原始的元が $\mathcal{C}mg$ および $\mathcal{A}s$（＝リー代数）における原始的元と関連することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数構造は、結合的またはリー型を超えて、オペラッドに対してどのように一般化可能か？
• RQ2 切断群法則（$r$-チャンク）の高次の群法則への拡張を制御するコホモロジー的不変量は何か？
• RQ3 マグマ型オペラッド$π = \mathcal{M}ag$ などの非結合的オペラッドに対して、$π$-ホップ代数における原始的元の構造はどのようなものか？
• RQ4 $π$-ホップ代数に対して非結合的ピカード＝バーキンホフ＝ワイトマン定理を定式化可能か？また、ハウスドルフ級数とはどのように関係するか？
• RQ5 コホモロジー群$H^n_r$ は、オペラッド的設定における$r$-チャンクの群法則の拡張の障害をどのように分類するか？

主な発見

• コホモロジー群$H^3_{r+1}$ は、群法則の$r$-チャンクから$(r+1)$-チャンクへの拡張の障害を分類し、2-チャンクがリー括弧を定義する場合に限り3-チャンクの拡張が存在する。
• 群$H^2_{r+1}$ は、このような拡張の一意性の障害を分類し、同型でない複数の拡張が存在しうることを示唆している。
• マグマ型オペラッド$\mathcal{M}ag$ に対して、原始的元の空間は非結合的ハウスドルフ級数$H(x,y) = \log(\vee^2(\exp(x), \exp(y)))$ に同型であり、古典的ベイカー＝キャンベル＝ハウスドルフ公式の一般化である。
• コホモロジー複体$\delta_n$ は$\delta_n \circ \delta_{n-1} = 0$ を満たし、$H^n_r$ が適切に定義され、$n > r$ のとき$H^n_r = 0$ である。
• 特徴値が0でない体を係数体とするとき、$H^r_r$ は$\mathcal{A}_\pi^{\otimes r}(x_1,\ldots,x_m)^{(r)}$ 内の反対称テンソルと一対一対応する。
• $\operatorname{Prim} \mathcal{M}ag$ から $\operatorname{Prim} \mathcal{C}mg$ および $\operatorname{Prim} \mathcal{A}s = \mathcal{L}ie$ への射影子が存在し、非結合的リー代数的構造の階層を示している。