[論文レビュー] On Hopf algebraic structures of quantum toroidal algebras

Naihuan Jing, Honglian Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子トロイダル代数 $U_q(\widehat{sl}_{n+1},\text{tor})$ のドリンフェルト生成子を用いて、簡略化された代数 $\mathcal{U}_0$ を導入し、$\mathcal{U}_0$ から完全な量子トロイダル代数へのエピモルフィズムを証明するとともに、ドリンフェルト＝ジムボ構造と整合する有限なコムルティプリケーション公式を確立する。主な結果として、$n=1,2$ の場合、$\mathcal{U}_0$ はホップ代数であり、一般の $n$ に対しては予想される公式を提示する。この構成により、量子トロイダル代数にホップ代数構造が拡張され、量子群理論における長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We define an algebra $\mathcal{U}_0$ using a simplified set of generators for the quantum toroidal algebra $U_q(sl_{n+1}, tor)$ and show that there exists an epimorphism from $\mathcal{U}_0$ to $U_q(sl_{n+1}, tor)$. We derive a closed formula of the comultiplication on the generators of $\mathcal{U}_0$ that extends that of the quantum affine algebra $U_q(\hat{sl}_{n+1})$. As a consequence, we show that $\mathcal{U}_0$ is a Hopf algebra for $n=1, 2$ and give conjectural formulas in the general case. We further show that $\mathcal{U}_0$ is isomorphic to a double algebra.

研究の動機と目的

• 量子トロイダル代数に有限なホップ代数構造を構成するという、長年の未解決問題を解決すること。これは、従来、無限大のコムルティプリケーションしか許されなかった。
• 量子トロイダル代数 $U_q(\widehat{sl}_{n+1},\text{tor})$ の最小生成系であるドリンフェルト生成子を用いて、簡略化された代数 $\mathcal{U}_0$ を定義すること。
• 量子アフィン代数のドリンフェルト＝ジムボコムルティプリケーションを拡張する、$\mathcal{U}_0$ 上の閉形式のコムルティプリケーションを導出すること。
• $n=1$ および $n=2$ の場合に $\mathcal{U}_0$ がホップ代数であることを証明し、任意の $n$ に対して一般化されたコムルティプリケーション公式を予想すること。
• $\mathcal{U}_0$ がコムルティプリケーションに基づくスケュー双対ペアリングを介して、ドリンフェルト二重 $\mathcal{D}(\mathcal{B}, \mathcal{B}')$ に同型であることを示すこと。

提案手法

• 量子トロイダル代数 $U_q(\widehat{sl}_{n+1},\text{tor})$ の簡略化されたドリンフェルト生成子の集合によって生成される商代数として $\mathcal{U}_0$ を定義する。
• 量子アフィン代数 $U_q(\widehat{sl}_{n+1})$ のドリンフェルト＝ジムボコムルティプリケーションを拡張することで、$\mathcal{U}_0$ の生成子上にコムルティプリケーション $\Delta$ を構成する。
• $n=1$ および $n=2$ の場合に、$q$-キャラクターとペアリング関係を用いた明示的計算により、コムルティプリケーションがコアソシエーシティおよび代数関係と整合することを検証する。
• ドリンフェルト二重構成を用いて、$\mathcal{B}$ および $\mathcal{B}'$ がスケュー双対ペアリングを持つ部分代数であるとき、$\mathcal{U}_0 \cong \mathcal{D}(\mathcal{B}, \mathcal{B}')$ を示す。
• 生成子の特定の語 $X$ について、$\Delta^{(2)}(X)$ の詳細な計算を行い、コムルティプリケーションがセール型関係を保存することを検証する。
• 任意の $n$ の場合に、コムルティプリケーションの一般化された公式を予想し、根付き木との潜在的な関係を指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト生成子を用いて、量子トロイダル代数に有限で明確なコムルティプリケーションを構成できるか？
• RQ2 簡略化された代数 $\mathcal{U}_0$ は $n=1$ および $n=2$ の場合にホップ代数構造を有するか？
• RQ3 $\mathcal{U}_0$ はドリンフェルト二重に同型であるか？ もし同型であれば、その背後にあるペアリング構造は何か？
• RQ4 コムルティプリケーションの公式は任意の $n$ に一般化可能か？ 一般の場合の背後にある代数的構造は何か？
• RQ5 $\mathcal{U}_0$ 上のコムルティプリケーションは、$q$-キャラクター理論および普遍 $R$-行列とどのように関係するか？

主な発見

• 簡略化された代数 $\mathcal{U}_0$ から完全な量子トロイダル代数 $U_q(\widehat{sl}_{n+1},\text{tor})$ へのエピモルフィズムが存在する。
• $n=1$ および $n=2$ の場合、代数 $\mathcal{U}_0$ はドリンフェルト＝ジムボ構造を拡張する明確なコムルティプリケーションを持つホップ代数である。
• $\mathcal{U}_0$ 上のコムルティプリケーションは明示的に計算され、高次元のセール関係を含む代数関係を保存することが示された。
• $\mathcal{U}_0$ はコムルティプリケーションに基づくスケュー双対ペアリングを介して、ドリンフェルト二重 $\mathcal{D}(\mathcal{B}, \mathcal{B}')$ に同型である。
• 一般の $n$ に対して、コムルティプリケーションの予想される公式が提示され、根付き木との潜在的関係が示唆された。
• この構成により、$\mathcal{U}_0$ が量子二重として普遍 $R$-行列を有することを示唆し、量子アフィン代数の $R$-行列構造を一般化する。