[論文レビュー] On loop Deligne--Lusztig varieties of Coxeter-type for inner forms of ${ m GL}_n$

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所非可換体上の $\mathrm{GL}_n$ の内部形式に対して、ループ・デリーニュ–ルスティッグ多様体を構成し、その $\ell$-進コホモロジーが、非分岐な楕円的トーラスを通じて要約される Langlands パラメータを持つ、広範なクラスの既約超臨界表現を実現することを示している。主な結果は、$\pm R_T^G(\theta)$ がほとんどすべてのこのような表現に対して既約であり、局所 Langlands 対応およびジャケット–ラングランズ対応と一致することであり、これにより、先行研究を超える幾何的・局所的・明示的な実現が達成される。

ABSTRACT

For a reductive group $G$ over a local non-archimedean field $K$ one can mimic the construction from the classical Deligne--Lusztig theory by using the loop space functor. We study this construction in special the case that $G$ is an inner form of ${ m GL}_n$ and the loop Deligne--Lusztig variety is of Coxeter type. After simplifying the proof of its representability, our main result is that its $\ell$-adic cohomology realizes many irreducible supercuspidal representations of $G$, notably almost all among those whose L-parameter factors through an unramified elliptic maximal torus of $G$. This gives a purely local, purely geometric and -- in a sense -- quite explicit way to realize special cases of the local Langlands and Jacquet--Langlands correspondences.

研究の動機と目的

• 局所体上の $\mathrm{GL}_n$ の内部形式に対するループ・デリーニュ–ルスティッグ多様体の定義を簡素化し、より満足のいく形で提示すること。
• 原始的特徴の範囲を超えて、はるかに広いクラスへの超臨界表現の幾何的実現を拡張すること。
• これらの多様体のコホモロジーが、非分岐な楕円的トーラスを通じて要約される $L$-パラメータを持つほとんどすべての超臨界表現に対して、局所 Langlands 対応およびジャケット–ラングランズ対応を実現することを確立すること。
• コックスター型デリーニュ–ルスティッグ多様体のコホモロジーを局所体上で研究するための新しい幾何的技法を開発し、ルスティッグの結果を正則な場合を超えて一般化すること。

提案手法

• 体 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上のスキーム $X$ を構成し、$G \times T$ の作用を備える。ここで $G = \mathbf{G}(K)$、$T = \mathbf{T}(K) \cong L^\times$ であり、$\mathbf{G}$ は $\mathrm{GL}_n$ の内部形式である。
• 滑らかな特徴 $\theta: T \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$ に対して、$X$ の $\ell$-進オイラー標数として $\theta$-同型成分 $R_T^G(\theta)$ を定義し、古典的デリーニュ–ルスティッグ理論をループ設定に一般化する。
• 非常に正則な $T \cong L^\times$ の元におけるトレース法と文字関係を用い、非非分岐拡大体上ではトレースが消えるという事実を活用する。
• フロベニウスの随伴性およびコンパクト誘導の次数公式を用いて、$R_T^G(\theta)$ が既約であり、唯一の超臨界表現 $\pi_{i_0}$ に同型であることを示す。
• $U_L^1$ の有限剰余群上で文字の線形独立性を用いて、$\theta|_{U_L^1}$ が一般位置にあるとき $\chi_{i_0} = \theta$ を特定する。
• $K^\times$ の特徴によるねじりを用いて、問題を $\theta|_Z$ がユニタリとなる場合に還元し、体積および次数の公式を用いて重複度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}_n$ の内部形式に対するループ・デリーニュ–ルスティッグ多様体は、原始的特徴の範囲を超えて、純粋に局所的で幾何的な方法で局所 Langlands 対応を実現できるか。
• RQ2 これらの多様体のコホモロジーが、非分岐な楕円的トーラスを通じて要約される $L$-パラメータを持つ超臨界表現をどの程度まで実現するか。
• RQ3 特に特徴 $\theta$ が正則でない場合に、局所体上のコックスター型デリーニュ–ルスティッグ多様体のコホモロジーを分析するための新しい幾何的技法を開発できるか。
• RQ4 非常に正則な元における表現のトレースをどのように用いて $R_T^G(\theta)$ の構成成分を特定し、既約性を証明できるか。
• RQ5 ジャケット–ラングランズ対応の観点から、特徴 $\theta$ と結果として得られる超臨界表現 $\pi_{\theta}$ の間の正確な関係は何か。

主な発見

• $p > n$ のとき、$\theta|_{U_L^1}$ が $\operatorname{Gal}(L/K)$ において自明な安定化部分群を持つならば、$\theta$-同型成分 $\pm R_T^G(\theta)$ は $G = \mathbf{G}(K)$ の既約超臨界表現である。
• $R_T^G(\theta)$ は局所 Langlands 対応を実現する：$\mathrm{LL}(\sigma_\theta)$ に同型であり、ここで $\sigma_\theta = \operatorname{Ind}_{\mathcal{W}_L}^{\mathcal{W}_K}(\theta \cdot \mu)$ である。
• $R_T^G(\theta)$ はジャケット–ラングランズ対応も実現する：$\mathrm{JL}$ を通じた像は $\pi_\theta$ であり、ハウの構成と一致する。
• $\theta|_{U_L^1}$ が一般位置にあるとき、コホモロジー $R_T^G(\theta)$ は既約であり、唯一の超臨界表現 $\pi_{i_0}$ に同型であり、重複度1である。
• $U_L^1 / U_L^{h'}$ 上での文字の線形独立性を用いて $\chi_{i_0} = \theta$ を確立し、非常に正則な元におけるトレースと一致する唯一の特徴として $\theta$ が特定される。
• 証明は、非非分岐拡大体上でのトレースの消える性質およびハール測度と体積を含む次数の公式に依拠しており、$R_T^G(\theta)$ が唯一の既約成分しか持たないことを確認している。