[論文レビュー] On Shimura varieties for unitary groups

Michael Rapoport, Brian D. Smithling+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特殊な符号型にまで拡張されない既存の構成を超えて、付加構造を備えたアーベル多様体のモジュライ問題を一様に表現するユニタリ群のための新しいシムーラ多様体のクラスを導入する。p-整域およびグローバル整域モデルを構築し、それらの平坦性と滑らかさを証明する。また、GAN–GROSS–PRASADおよびKUDLA–RAPAPORT予想に中心的な役割を果たす算術的サイクルを自然に含むことが示され、従来の間接的構成とは対照的に、より幾何的かつ解析可能な枠組みを提供する。

ABSTRACT

This is a largely expository article based on our previous work on arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties. We define a class of Shimura varieties closely related to unitary groups which represent a moduli problem of abelian varieties with additional structure, and which admit interesting algebraic cycles. We generalize to arbitrary signature type the results of our previous work valid under special signature conditions. We compare our Shimura varieties with other unitary Shimura varieties.

研究の動機と目的

• ユニタリ群のための新しいシムーラ多様体の変種を定義し、特別な符号型にとどまらず、すべての符号型にわたって付加構造を備えたアーベル多様体のモジュライ問題を一様に表現すること。
• K = Kp × Kp で Kp がパラホリックである場合に、これらのシムーラ多様体のp-整域モデルを構築し、コットヴィッツの超特異的ケースを一般化すること。
• これらのp-整域モデルの平坦性と滑らかさを確立し、従来の構成における主要な技術的障壁に対処すること。
• フェイク・ドリンフェルト符号型の場合にグローバル整域モデルを構築し、算術的交差理論への応用を可能にすること。
• これらのシムーラ多様体が、算術的GAN–GROSS–PRASADおよびKUDLA–RAPAPORT予想に現れる代数的サイクルを自然に実現すること。

提案手法

• 著者たちは、ユニタリ群のモジュライ問題を拡張することで、すべての符号型にわたって一様なモジュライ解釈を持つ新しいシムーラデータを定義する。
• 彼らは、局所モデルの理論とPELデータの形式的枠組みを用いて、p-整域モデルを構築し、キシン–パッパスの結果をパラホリックレベル構造へ一般化する。
• p-整域モデルの平坦性と滑らかさは、局所モデルおよびその基本拡大の詳細な解析を通じて確立され、特に局所モデル図式の形式的枠組みが用いられる。
• グローバル整域モデルは、フェイク・ドリンフェルトの場合に、局所モデル技術と整域標準モデルの理論の組み合わせによって構築される。
• 主な技術的道具は、局所環上の自己双対的多重鎖とその関連する極化付き多重鎖の使用であり、同型関手が表現可能かつ滑らかであることが示される。
• 平坦性の証明は、特定のQ-構造とその直交補空間の像に関する包含条件の検証に依拠し、アイゼンシュタイン条件が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての符号型にわたって、特別な場合に限らない、ユニタリ群のためのシムーラ多様体の一様なモジュライ的構成は可能か？
• RQ2 レベル構造がpでパラホリックである場合に、これらのシムーラ多様体のp-整域モデルは存在するか？ そして平坦または滑らかであるか？
• RQ3 フェイク・ドリンフェルト符号型の場合にグローバル整域モデルを構築できるか？ その幾何的性質は何か？
• RQ4 これらの新しいシムーラ多様体は、デリーニュ–コットヴィッツの古典的ユニタリシムーラ多様体およびGAN–GROSS–PRASAD型のものとどのように関係するか？
• RQ5 これらの新しいシムーラ多様体は、算術的GAN–GROSS–PRASADおよびKUDLA–RAPAPORT予想に必要な代数的サイクルを自然に実現するか？

主な発見

• 新しいシムーラ多様体は、すべての符号型にわたって付加構造を備えたアーベル多様体のモジュライ問題を一様に表現し、以前の構成の制限を解消する。
• すべてのパラホリックレベル構造 Kp に対してp-整域モデルが構築され、コットヴィッツの結果を超特異的から一般のパラホリックレベル群へ拡張する。
• 適切な条件下で、p-整域モデルが平坦かつ滑らかであることが示され、これらの多様体の算術的研究における主要な技術的課題が解決される。
• フェイク・ドリンフェルト符号型の場合にグローバル整域モデルが構築され、算術的交差問題の幾何的枠組みが提供される。
• 新しいシムーラ多様体は、算術的GAN–GROSS–PRASADおよびKUDLA–RAPAPORT予想に中心的な役割を果たす代数的サイクルを自然に含み、予想の枠組みが要請する通りである。
• 局所モデルおよび局所モデル図式の形式的枠組みは、p = 2 に対しても、タイプAの非分岐PELデータにまで拡張され、理論が完全な一般性、特に素数2においても有効であることが保証される。