[论文解读] On some zeta-integrals for unramified representations of GSp(4)

David Loeffler|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过使用Shintani函数计算了GSp(4)与两个GL₂表示的张量积的zeta积分，评估了在对角GL₂×GL₂作用下不变的三线性型。关键结果是L函数的Euler因子的显式公式，这对GSp(4)×GL₂×GL₂上的自守形式及其相关伽罗瓦表示的算术研究至关重要。

ABSTRACT

This article is a companion to several works of the author and others on the arithmetic of automorphic forms for GSp(4), and their associated L-functions and Galois representations. These works require, at various points, an input from smooth representation theory over p-adic local fields: the computation of values of the unique trilinear form on an unramified representation of GSp(4) x GL(2) x GL(2) invariant under the diagonal GL(2) x GL(2), for various different input data. In this note, we carry out these local computations, using a general formula for Shintani functions due to Gejima.

研究动机与目标

• 计算GSp(4)×GL₂×GL₂上未分歧表示的唯一三线性型在对角GL₂×GL₂作用下的取值。
• 为GSp(4)及其与GL₂的乘积上自守形式的全局算术研究提供所需的局部zeta积分显式计算。
• 在自守形式相关的动机表示与伽罗瓦表示背景下，推导L函数的显式Euler因子表达式。
• 通过提供未分歧位置处zeta积分的精确归一化与取值，支持Q上自守表示的算术研究。
• 利用Gejima关于Shintani函数的一般公式，修正并扩展先前工作（如[LZ20a, LZ20b, LZ21]）中的归一化因子。

提出的方法

• 利用Gejima给出的Shintani函数的一般公式，在未分歧情形下计算zeta积分。
• 应用Moeglin–Waldspurger的重数一结果，确保三线性型空间至多一维。
• 应用Kato–Murase–Sugano定理，确认当所有表示均为未分歧时，三线性型空间确实为一维。
• 将参数（特征值、中心特征标及p进参数）显式代入zeta积分公式，以提取Euler因子。
• 为不同情形（GSp(4)×GL₂与GSp(4)×GL₂×GL₂）重新标记参数，以匹配上同调与动机L值。
• 通过将其与紧致子群的指标（特别是$K_{H, riangle}(p)$）关联，修正先前工作中的归一化因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有平凡中心特征标的未分歧GSp(4)×GL₂×GL₂三元组，zeta积分的显式取值是什么？
• RQ2 在对角GL₂×GL₂作用下，相关L函数的Euler因子如何从局部三线性型中浮现？
• RQ3 三线性型的精确归一化是什么，以确保其与动机与étale上同调构造相容？
• RQ4 在平凡情形下，p处的Frobenius特征值与zeta积分输出的赋值之间有何关系？
• RQ5 参数替换（如α, β, γ, δ）在GSp(4)×GL₂×GL₂情形下如何编码中心L值？

主要发现

• 未分歧三元组$(\rho_{\text{GSp}} \times \rho_{\text{GL}_2} \times \rho_{\text{GL}_2})$的zeta积分结果为六个Euler因子的乘积，显式表示为$p$, $\rho$与中心特征标的有理函数。
• 在GSp(4)×GL₂情形下，zeta积分给出Euler因子$\frac{p^3}{(p+1)^2(p-1)} \prod_{i=1}^6 \left(1 - \frac{\lambda_i}{p^{\text{val}}}\right)$，其中$\lambda_i$为Satake参数与中心特征标的组合。
• 在GSp(4)×GL₂×GL₂情形下，zeta积分产生Euler因子$\frac{1}{p^5(p+1)(p-1)^2} \prod_{\lambda \in S} \left(1 - \frac{\lambda}{p^{2+q}}\right) \cdot \prod_{\mu \in T} \left(1 - \frac{p^{1+q}}{\mu}\right)$，其中$S$与$T$为Satake参数的集合。
• 归一化因子$\frac{p^3}{(p+1)^2(p-1)}$被证明与子群$K_{H,\triangle}(p)$的指标一致，修正了早期工作中遗漏的问题。
• 赋值$\leq 1+q$的Frobenius特征值恰好对应于zeta积分分子中的三项$\alpha\mathfrak{a}_2, \alpha\mathfrak{b}_2, \beta\mathfrak{a}_2$。
• 结果被用于计算中心L值$L(V_{\Pi} \otimes V_{\Sigma_1} \otimes V_{\Sigma_2}, 1+h)$，其中$h = \frac{r_1 + r_2 + t_1 + t_2 + 4}{2}$，与[LZ20b]定理8.2.5一致。