[論文レビュー] On the fundamental group of II_1 factors and equivalence relations arising from group actions

Sorin Popa, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、自由エルゴード的確率測度保存群作用から生じるII₁因子および軌道同値関係の基本群を調査する。特定の群、たとえば$\Gamma^{*\infty}*\mathbb{Z}$に対して、可能な基本群の集合は$\mathbb{R}_+$、すべての可算部分群、および任意のハウスドルフ次元$\alpha \in (0,1)$をもつ非可算部分群を含むことが示されている。一方、ICC群の一方がカジダールの性質(T)を有する$\Gamma*\Lambda$に対しては、基本群は自明であり、非アーベルFC-ラディカルをもつ残値有限性を持つ性質(T)群における中心列を用いてMcDuff因子を構成している。

ABSTRACT

Given a countable group G, we consider the sets S_factor(G), S_eqrel(G), of subgroups F of the positive real line for which there exists a free ergodic probability measure preserving action G on X such that the fundamental group of the associated II_1 factor, respectively orbit equivalence relation, equals F. We prove that if G is the free product of Z and infinitely many copies of a non-trivial group Γ, then S_factor(G) and S_eqrel(G) contain R_+ itself, all of its countable subgroups, as well as uncountable subgroups whose log can have any Hausdorff dimension in the interval (0,1). We then prove that if G=Γ*Λ, with Γ, Λfinitely generated ICC groups, one of which has property (T), then S_factor(G)=S_eqrel(G)={1}. We also show that there exist II_1 factors M such that the fundamental group of M is R_+, but the associated II_\infty factor M tensor B(l^2) admits no continuous trace scaling action of R_+.

研究の動機と目的

• 可算群$G$の自由エルゴード的p.m.p.作用を用いて実現可能な基本群の集合$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$および$\mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G)$を特定すること。
• アメニタリティ、性質(T)、残値有限性、FC-ラディカル構造といった群論的性質が、関連するII₁因子および同値関係の基本群に与える影響を調査すること。
• 連続的トレーススケーリング作用をその拡大上で持たない$\mathbb{R}_+$基本群をもつII₁因子の例を構成すること。
• ICC群の積に性質(T)を有する群が含まれる場合、基本群が自明または可算となる条件を確立すること。

提案手法

• 群作用およびフォン・ノイマン代数の技法を用いて、群測度空間II₁因子$M = L^\infty(X) \rtimes G$の基本群$\mathcal{F}(M)$を分析する。
• 中心化子と有限指数部分代数を用いて$M \cap B^\prime$の構造を研究し、[21]の性質(T)の結果を適用して$\mathcal{F}(M)$の可算性を導出する。
• 射影$\chi_{s\Gamma_n}$と$u_{sh^{-1}s^{-1}}$におけるユニタリ$u_{sh^{-1}s^{-1}}$を用いて$M$における中心列$v_{h_n}$を構成し、$\tau(v_{h_n}) = 0$および$\| [\chi_{g\Gamma_k}, v_{h_n}] \|_2 \to 0$（$n \to \infty$）を保証する。
• プロフィニート作用$\Gamma \curvearrowright \varprojlim \Gamma/\Gamma_n$を活用し、$\Gamma_n \subset \operatorname{C}_\Gamma(h)$となる十分大きな$n$に対して、自由エルゴード的p.m.p.作用を実現し、中心列の構成を可能にする。
• [21, Theorem A.1]の基準を適用し、$M \cap B^\prime \subset B$を満たす有限指数部分代数$B$が性質(T)をもつ場合、$\mathcal{F}(M)$は可算であることを示す。
• $\Gamma_f \cap \Gamma_n$が非アーベルであることを保証するため、$\Gamma_f \cap \Gamma_n$に非アーベル有限指数部分群が存在することを用い、$v_{h_n}$と$v_{h_n'}$が中心列であり、$\tau(v_{h_n}v_{h_n'}v_{h_n}^*v_{h_n'}^*) = 0$を満たすことを示し、これにより$M$がMcDuffであることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算群$G$について、$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$が$\mathbb{R}_+$および任意のハウスドルフ次元$\alpha \in (0,1)$をもつ非可算部分群を含むのはどのような場合か？
• RQ2 $\Gamma, \Lambda$がICCであり、一方がカジダールの性質(T)を有する$G = \Gamma * \Lambda$に対して、$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G) = \{\{1\}\}$となる条件は何か？
• RQ3 $\mathcal{F}(M) = \mathbb{R}_+$をもつ$M = L^\infty(X) \rtimes \mathbb{F}_\infty$が、$M \overline{\otimes} B(\ell^2(\mathbb{N}))$上で$\mathbb{R}_+$の連続的トレーススケーリング作用をもたないことはあり得るか？
• RQ4 性質(T)群$\Gamma$のFC-ラディカルが、プロフィニート作用を介してMcDuff因子を導く条件は何か？また、$[\Gamma_f, \mathcal{Z}(\Gamma_f)] = \infty$はどのような役割を果たすか？
• RQ5 $\Gamma$における中心化子および有限指数部分群は、$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$の基本群にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 群$G = \Gamma^{*\infty}*\mathbb{Z}$（$\Gamma \neq 1$）に対して、集合$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$および$\mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G)$は$\mathbb{R}_+$、$\mathbb{R}_+$のすべての可算部分群、任意のハウスドルフ次元$\alpha \in (0,1)$をもつ非可算部分群を含む。
• $\mathcal{F}(M) = \mathbb{R}_+$をもつII₁因子$M = L^\infty(X) \rtimes \mathbb{F}_\infty$が存在し、$M \overline{\otimes} B(\ell^2(\mathbb{N}))$は$\mathbb{R}_+$の連続的トレーススケーリング作用をもたない。
• $G = \Gamma * \Lambda$で$\Gamma, \Lambda$が有限生成ICC群であり、一方がカジダールの性質(T)を有する場合、$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G) = \mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G) = \{\{1\}\}$である。
• 性質(T)群$\Gamma$で$\mathcal{Z}(\Gamma)$が$\Gamma_f$において有限指数をもつ場合、任意の$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$の基本群は可算である。
• $\Gamma$が残値有限であり、$[\Gamma_f, \mathcal{Z}(\Gamma_f)] = \infty$である場合、$\Gamma$は自由エルゴード的プロフィニートp.m.p.作用をもつ。このとき、$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$はMcDuff因子である。
• 射影$\chi_{s\Gamma_n}$とユニタリ$u_{sh^{-1}s^{-1}}$を用いた中心列$v_{h_n}$の構成により、$\| [\chi_{g\Gamma_k}, v_{h_n}] \|_2 \to 0$および$\tau(v_{h_n}) = 0$が保証され、$n$が十分大きくなると$\Gamma_f \cap \Gamma_n$が非アーベルとなるため、$M$はMcDuff因子である。