[論文レビュー] On the noncommutative spin geometry of the standard Podles sphere and index computations

Elmar Wagner|ArXiv.org|Jul 23, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、標準的Podlés球面上の非可換スピン幾何学を、次元低下問題を解消するためのねじれホッホシュイルドホモロジーを導入することで拡張し、ねじれチェーン＝コンスペアリングを用いてポアンカレ双対性を確立し、ねじれチェーン・キャラクターと体積形式を用いてq巻き数およびインデックスを計算する。主な結果は、ねじれ循環2次コサイクルとのチェーン＝コンスペアリングが、等変0-summableディラック作用素のqインデックスを導き、量子群構造と整合するインデックス理論を裏付けることである。

ABSTRACT

The purpose of the paper is twofold: First, known results of the noncommutative spin geometry of the standard Podles sphere are extended by discussing Poincare duality and orientability. In the discussion of orientability, Hochschild homology is replaced by a twisted version which avoids the dimension drop. The twisted Hochschild cycle representing an orientation is related to the volume form of the distinguished covariant differential calculus. Integration over the volume form defines a twisted cyclic 2-cocycle which computes the q-winding numbers of quantum line bundles. Second, a "twisted" Chern character from equivariant K0-theory to even twisted cyclic homology is introduced which gives rise to a Chern-Connes pairing between equivariant K0-theory and twisted cyclic cohomology. The Chern-Connes pairing between the equivariant K0-group of the standard Podles sphere and the generators of twisted cyclic cohomology relative to the modular automorphism and its inverse are computed. This includes the pairings with the twisted cyclic 2-cocycle associated to the volume form, and the one corresponding to the "no-dimension drop" case. From explicit index computations, it follows that the pairings with these cocycles give the q-indices of the known equivariant 0-summable Dirac operator on the standard Podles sphere.

研究の動機と目的

• 標準的Podlés球面におけるホッホシュイルドホモロジーの次元低下問題を、ホッホシュイルドホモロジーのねじれ版を導入することで解消すること。
• 標準的Podlés球面における非可換幾何学において、ねじれ循環コホモロジーを用いてポアンカレ双対性を確立すること。
• 等変K₀理論から偶数次ねじれ循環ホモロジーへのねじれチェーン・キャラクターを定義し、インデックス計算に用いること。
• 等変K₀理論とねじれ循環コホモロジーの間のチェーン＝コンスペアリングを計算し、特にモジュラー自己同型およびその逆写像に関して行うこと。
• 体積形式コサイクルとのペアリングが、量子ラインバンドルのq巻き数およびqインデックスを計算することを確認すること。

提案手法

• 量子SU(2)におけるヘア状態のモジュラー自己同型を用いてねじれホッホシュイルドホモロジーを導入し、古典的次元低下（2から1）を回避すること。
• 共変微分計算の体積形式からねじれ循環2次コサイクルを構成し、方向性クラスを表すものとする。
• モジュラー自己同型と整合するように、等変K₀理論から偶数次ねじれ循環ホモロジーへのねじれチェーン・キャラクターを定義すること。
• 等変K₀理論とねじれ循環コホモロジーの間のチェーン＝コンスペアリングを用いてインデックスを計算すること。
• ねじれ循環コホモロジーの生成子、特に体積形式コサイクルと「次元低下なし」のケースに対してペアリングを適用すること。
• ねじれ循環2次コサイクルとのペアリングを用いて0-summableディラック作用素のqインデックスを計算し、それが量子巻き数に一致することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的Podlés球面におけるホッホシュイルドホモロジーの次元低下問題は、非可換幾何学の枠組み内でどのように解消可能か？
• RQ2 標準的Podlés球面において、標準的ホッホシュイルドホモロジーの代わりにねじれ循環コホモロジーを用いた場合、ポアンカレ双対性は成立するか？
• RQ3 等変K₀理論からねじれ循環ホモロジーへのねじれチェーン・キャラクターを定義可能か？ その際、インデックスペアリングの整合性が保たれるか？
• RQ4 標準的Podlés球面において、等変K₀理論とねじれ循環コホモロジーの間のチェーン＝コンスペアリングの明示的値は何か？
• RQ5 体積形式コサイクルおよびその逆モジュラー自己同型コサイクルとのペアリングは、ディラック作用素のqインデックスをもたらすか？

主な発見

• ねじれホッホシュイルドホモロジーにより次元低下が解消され、体積形式を用いた一貫性のある方向性クラスの定義が可能となった。
• 標準的Podlés球面ではポアンカレ双対性が成立し、ペアリング ⟨[(k,l)], [(m,n)]⟩_D = km - ln により非退化性が証明された。
• 体積形式に付随するねじれ循環2次コサイクルとのチェーン＝コンスペアリングにより、量子ラインバンドルのq巻き数が計算された。
• モジュラー自己同型に関連するねじれ循環2次コサイクルとのペアリングにより、0-summableディラック作用素のqインデックスが得られた。
• 標準的Podlés球面上のディラック作用素のqインデックスは [N]_q として与えられ、量子整数の表現と一致した。
• 逆モジュラー自己同型とのペアリングは「次元低下なし」のケースを確認し、ねじれコホモロジーにおけるインデックス理論との整合性を裏付けた。