[論文レビュー] On the étale fundamental groups of arithmetic schemes, revised

Feng-Wen An|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、整数的アリスキーのエタール基本群とその最大形式的非分岐拡大体のガロア群との間に自然な同型が存在することを確立し、形式的非分岐拡大が算術的に非分岐であり、代数的数論における標準的定義と一致することを証明する。主な結果は、算術的多様体のエタール基本群が、その最大算術的非分岐拡大体のガロア群に同型であるということである。

ABSTRACT

In this paper we will give a computation of the étale fundamental group of an integral arithmetic scheme. For such a scheme, we will prove that the étale fundamental group is naturally isomorphic to the Galois group of the maximal formally unramified extension over the function field. It consists of the main theorem of the paper. Here, formally unramified will be proved to be arithmetically unramified which is defined in an evident manner and coincides with that in algebraic number theory. Hence, formally unramified has an arithmetic sense. At the same time, such a computation coincides with the known result for a normal noetherian scheme.

研究の動機と目的

• 整数的アリスキーのエタール基本群を計算すること、すなわち、$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 上で有限型で、整かつ$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ に全射であるスキームについて。
• このようなスキームの函数体の最大形式的非分岐拡大体が算術的に非分岐であることを示し、それによって算術的解釈を与えること。
• 算術的多様体のエタール基本群が、その最大算術的非分岐拡大体のガロア群と自然に同型であることを示すこと。
• 形式的非分岐拡大の概念を代数的数論における古典的定義と一致させることを示し、この文脈で一致することを証明すること。
• 既知のノエーザー正規スキームの結果を拡張し、エタール基本群を計算可能かつ算術的幾何学的に意味のある記述を与えること。

提案手法

• 固定された代数的閉包$\Omega$に関する$k(X)$の有限エタールGalois被覆の函数体の直和極限として、最大形式的非分岐拡大体$k(X;\Omega)^{\text{un}}$を定義する。
• 有限エタールGalois被覆の集合$[X;\Omega]_{\text{et}}$が、$X_\alpha \leq X_\beta$（$X_\beta$ が$X_\alpha$ 上のGalois被覆であるとき）という順序に関して有向集合をなすことを確立する。
• 自己同型群の逆極限$\varprojlim_{Y \in [X;\Omega]_{\text{et}}} \mathrm{Aut}(Y/X)$が、エタール基本群$\pi_1^{\text{et}}(X,s)$に同型であることを証明する。
• $[X;\Omega]_{\text{qc}}$（算術的非分岐被覆）が$[X;\Omega]_{\text{et}}$に余稠密であることを示し、これにより$[X;\Omega]_{\text{qc}}$上の逆極限が同じ群を計算できることを保証する。
• 任意の算術的非分岐拡大が有限エタールGalois拡大に含まれることを用い、$[X;\Omega]_{\text{qc}}$を$[X;\Omega]_{\text{et}}$に余稠密な部分族として埋め込む。
• 余稠密有向集合上の逆極限の同型を用いて、$\pi_1^{\text{et}}(X,s) \cong \mathrm{Gal}(k(X;\Omega)^{\text{un}}/k(X))$を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的スキームの函数体の最大形式的非分岐拡大体は算術的に意味を持ち、代数的数論における古典的非分岐拡大の概念と一致するか？
• RQ2 算術的スキームのエタール基本群は、その函数体の特定の拡大体のガロア群として計算可能か？
• RQ3 算術的多様体のエタール基本群は函数体にのみ依存し、双有理不変量か？
• RQ4 有限エタールGalois被覆の集合と算術的非分岐被覆の集合における自己同型群の逆極限は同型か？
• RQ5 有理関数体$\mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n)$の最大算術的非分岐拡大体が自明であることから、$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t_1, \dots, t_n])$のエタール基本群が自明であると結論できるか？

主な発見

• 算術的スキーム$X$のエタール基本群$\pi_1^{\text{et}}(X,s)$は、その函数体$k(X)$上の最大形式的非分岐拡大体のガロア群$\mathrm{Gal}(k(X;\Omega)^{\text{un}}/k(X))$と自然に同型である。
• 最大形式的非分岐拡大体$k(X;\Omega)^{\text{un}}$は最大算術的非分岐拡大体$k(X)^{\text{au}}$に等しく、これにより算術的解釈が与えられる。
• この文脈における形式的非分岐拡大の概念は、特にデデキンド整域や離散付値環の文脈で、代数的数論における古典的非分岐拡大の概念と一致する。
• $[X;\Omega]_{\text{et}}$（有限エタールGalois被覆）の集合は、$[X;\Omega]_{\text{qc}}$（算術的非分岐被覆）の集合に余稠密であり、これにより$[X;\Omega]_{\text{et}}$上の逆極限が$[X;\Omega]_{\text{qc}}$上の逆極限と同じ群を計算することが保証される。
• その結果、$\pi_1^{\text{et}}(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t_1, \dots, t_n])) \cong \{0\}$が成り立つ。なぜなら、$\mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n)$の最大算術的非分岐拡大体が自明だからである。
• 算術的多様体のエタール基本群は双有理不変量である：二つの算術的多様体の函数体が同型ならば、それらのエタール基本群も同型である。