[論文レビュー] On Thom spaces, Massey products and non-formal symplectic manifolds

Yuli B. Rudyak, Aleksy Tralle|ArXiv.org|Jul 6, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、閉多様体におけるブローアップ操作の下でのマッセイ積の振る舞いを、トム空間を主な技術的道具として用いて調査する。これらの結果を応用して、非形式的であるが閉じたシンプレクティック多様体を構成し、シンプレクティック構造が非自明なマッセイ積と共存可能であることを示し、シンプレクティック位相幾何学における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this work we analyze the behavior of Massey products of closed manifolds under the blow-up construction. The results obtained in the article are applied to the problem of constructing closed symplectic non-formal manifolds. The proofs use Thom spaces as an important technical tool. This application of Thom spaces is of conceptual interest.

研究の動機と目的

• 閉多様体におけるブローアップ構成の下でのマッセイ積の振るまいを理解すること。
• この振るまいがシンプレクティック位相幾何学における形式性問題に与える影響を調査すること。
• トム空間を技術的道具として用いて、ブローアップのコホモロジー構造を分析すること。
• 明示的な例として、非形式的（すなわち、有理ホモトピー論の意味で形式的でない）閉シンプレクティック多様体を構成すること。
• 非自明なマッセイ積がシンプレクティック多様体に残存可能であることを示し、シンプレクティック構造が形式性を意味すると仮定することを挑戦すること。

提案手法

• ブローアップに沿った部分多様体でのコホモロジー環構造を分析するために、トム空間を用いる。
• 有理ホモトピー論の文脈においてマッセイ積の理論を適用し、非形式性を検出する。
• コホモロジー環を変更しつつもシンプレクティック構造を保存する方法として、ブローアップ構成を用いる。
• ブローアップ過程における高階コホモロジー作用素（マッセイ積）の変化を分析する。
• 微分幾何学と代数的位相の結果を組み合わせ、特定のコホモロジー的性質を持つ例を構成する。
• 有理ホモトピー論における最小モデルの枠組みを用いて、非ゼロのマッセイ積による非形式性の検出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体を部分多様体に沿ってブローアップしたとき、マッセイ積はどのように変化するか？
• RQ2 ブローアップ構成を用いて、非自明なマッセイ積を持つシンプレクティック多様体を生成できるか？
• RQ3 閉じたシンプレクティック多様体を非形式的（Sullivanの意味で形式的でない）に構成することは可能か？
• RQ4 トム空間は、ブローアップのコホモロジー構造を分析する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 非自明なマッセイ積は、シンプレクティック多様体における形式性を妨げるか？ そして、そのような多様体は依然としてシンプレクティック形式をもつことができるか？

主な発見

• 本稿は、元の多様体でゼロであったマッセイ積が、ブローアップ後には非自明である可能性があることを確立している。
• 適切にブローアップ中心を選べば、形式的多様体のブローアップが非形式的多様体になることを証明している。
• 著者らは、非形式的であるが閉じたシンプレクティック多様体の明示的例を構成し、シンプレクティック多様体は必然的に形式的であるという予想に対する反例を提供している。
• トム空間が、ブローアップ構成におけるコホモロジー不変量を計算する上で重要な技術的道具であることが示された。
• 非自明なマッセイ積がシンプレクティック形式と共存可能であることが確認され、形式性はシンプレクティック構造の必要条件ではないことが示された。
• ブローアップ操作とマッセイ積の相互作用が、非形式的シンプレクティック多様体の体系的構成を可能にすることが結果として示された。