[論文レビュー] Open Gromov-Witten theory on Calabi-Yau three-folds II

Vito Iacovino|ArXiv.org|Aug 4, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、特異ラグランジュ部分多様体 $ L $ に位相的制限を課さないカーバイ-ヤウ3次元多様体に対して、摂動的アーベルゲンチ・シンポス理論と装飾木のホモロジー的チェーンを用いて、オープン・グロモフ・ウィッテン汎関数 $ S $ を構成する。この汎関数はマスターホモトピーに関して定義され、臨界点で評価されることで数値不変量が得られ、従来の結果を一般化し、高 genus および非自己同型の場合における多曲線の役割を明確にする。

ABSTRACT

We propose a general theory of the Open Gromov-Witten invariant on Calabi-Yau three-folds. In this paper we construct the Open Gromov-Witten potential. The evaluation of the potential on its critical points leads to numerical invariants.

研究の動機と目的

• 特異ラグランジュ部分多様体 $ L $ の位相に制限を課さずに、オープン・グロモフ・ウィッテン不変量の理論をカーバイ-ヤウ3次元多様体へ拡張すること。
• ノビコフ環に $ H^*(L) $ を係数とするマスターエンジンの解のホモトピー類として、オープン・グロモフ・ウィッテン汎関数 $ S $ を定義すること。
• 非アーベル的異常を回避するため、$ L $ 上の摂動的アーベルゲンチ・シンポス積分を用いた幾何的構成により、汎関数を確立すること。
• ストリングカップリング $ \lambda $ における形式的展開としての高 genus 汎関数を分析し、反正則自己同型が存在しない場合における多曲線の役割を明確にすること。
• 汎関数 $ S $ の臨界点がホモトピー類のバウンディングチェーンを分類することと、ジョイスの不変量およびゴパクマル＝バーガー不変量とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 装飾木の上での形式的和として汎関数 $ S $ を構成し、係数がねじれたものの配置空間 $ C_T(L) $ 上のホモロジー的チェーン系 $ W_T $ を用いる。
• 境界面 $ \partial_e C_T(L) $ を $ L \times C_{T/e}(L) $ 上の $ S^2 $-ファイブレーションとして定義し、$ \partial_e W_T $ がチェーン $ \partial_e' W_T $ の幾何的逆像であることを要請する。
• $ dP = K $, $ i_\partial^*P = \eta $, $ r^*P = -P $, および $ \langle P, \alpha_1 \otimes \alpha_2 \rangle = 0 $ を満たす伝達関数 $ P \in \Omega^2(C_2(M)) $ を、カットオフ形式および $ S(TL) $ 上の接続1形式を用いて構成する。
• 標準的体積形式と接続成分から得られる $ \Omega^2(S(TL)) $ 内の局所フレームの選択に依存しない $ \eta \in \Omega^2(S(TL)) $ を用いることで、伝達関数が局所フレームの選択に依存しないことを保証する。
• 境界条件として $ \{0\} \times W_T $, $ \{1\} \times W_T' $ および頂点・辺寄与項を含む、チェーン系間のホモトピー $ Y_T $ を定義する。
• 高次元チェーン $ Z_T $ が二重境界条件を満たすことで定義される同値関係により、汎関数の量子マスターホモトピーに関しての一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異ラグランジュ部分多様体 $ L $ が有理ホモロジー球面に制限されない任意の位相を持つカーバイ-ヤウ3次元多様体において、オープン・グロモフ・ウィッテン汎関数をどのように構成できるか。
• RQ2 高 genus 汎関数において、多曲線（複数の頂点を持つ木）が果たす役割は何か。なぜ反正則自己同型が存在しない場合には、それらがキャンセルされないのか。
• RQ3 提案された汎関数は [10] および [9] の不変量とどのように関係するか。特に $ S^1 $-作用と多重被覆補正の文脈において。
• RQ4 汎関数 $ S $ の臨界点を、バウンディングチェーンのホモトピー類を分類するものとして解釈できるか。これによりジョイスの不変量とどのように関連するか。
• RQ5 臨界点で得られる不変量は、固定されたホモロジー類に依存するのか、固定された面積に依存するのか。この依存関係が物理的解釈に与える影響は何か。

主な発見

• オープン・グロモフ・ウィッテン汎関数 $ S $ は、$ H^*(L) $ 上の関数環に係数をとるノビコフ環におけるマスターエンジンの解のホモトピー類として構成される。
• この汎関数は、$ L $ 上の摂動的アーベルゲンチ・シンポス積分を用いて定義され、$ dP = K $, $ i_\partial^*P = \eta $, $ r^*P = -P $, および $ \Psi \otimes \Psi $ 上で消える伝達関数 $ P $ を用いる。
• この構成は計量や接続の選択に依存せず、$ H^*(L) $ に同型である部分空間 $ \Psi \subset \Omega^*(L) $ にのみ依存する。
• 反正則自己同型が存在しない場合、少なくとも2つの頂点を持つ多曲線（木）の寄与はキャンセルされず、[10]とは異なり、これは[10]の議論が高 genus において失敗する理由を説明する。
• $ S $ をその臨界点で評価すると、固定された相対ホモロジー類に依存するのではなく、固定された面積に依存する数値不変量が得られ、[10]の設定を一般化する。
• $ S $ の臨界点がバウンディングチェーンのホモトピー類に対応すると予想され、ジョイスの不変量との関連や、不変量のより深い幾何的解釈への道筋が示唆される。