[論文レビュー] Palindromic width of wreath products, metabelian groups, and max-n solvable groups

Tim Riley, Andrew W. Sale|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、群 $G \wr \mathbb{Z}^r$、有限生成メタア贝尔群、および最大部分群条件（max-n）を満たす有限生成可解群がすべて有限パルンドローム幅を持つことを確立する。$G \wr \mathbb{Z}^r$ のパルンドローム幅に対して明示的な上界を提示し、メタアベル群における有限パルンドローム幅の自立的証明を提供し、コンmutatorおよびパルンドローム長の議論を用いてmax-n可解群への結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

A group has finite palindromic width if there exists $n$ such that every element can be expressed as a product of $n$ or fewer palindromic words. We show that if $G$ has finite palindromic width with respect to some generating set, then so does $G \wr \mathbb{Z}^{r}$. We also give a new, self-contained, proof that finitely generated metabelian groups have finite palindromic width. Finally, we show that solvable groups satisfying the maximal condition on normal subgroups (max-n) have finite palindromic width.

研究の動機と目的

• 群 $G$ が有限パルンドローム幅を持つとき、$G \wr \mathbb{Z}^r$ のパルンドローム幅が有限であることを確立すること。
• 先行研究に依存しない、有限生成メタアベル群がすべて有限パルンドローム幅を持つことを自立的に証明すること。
• 正規部分群に関するmax-n条件を満たす有限生成可解群に対し、有限パルンドローム幅が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 整数 $\mathbb{Z}^r$ 上の台がコンパクトな関数の対称成分への分解を用いて、$G \wr \mathbb{Z}^r$ におけるパルンドローム幅の上限を導出する。
• Lemma 2.1 を導入し、$\mathbb{Z}^r$ から群への関数を2つの対称関数の積として表現することを証明する。
• 環値関数と歪対称分解を用いて、対称関数の積に関する結果を一般化する。
• アハヴァン＝マライヤリーの補題を用いてメタアベル群における交換子表現の結果を応用し、導来部分群におけるパルンドローム長の上限を求める。
• パルンドローム長の共役不変性を活用して、正規部分群における長さを制御する。
• アーベル化群 $G/G'$ における有限パルンドローム幅と、導来部分群 $G'$ における有界なパルンドローム長を組み合わせることで、全体群における有限パルンドローム幅を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ が有限パルンドローム幅を持つとき、$G \wr \mathbb{Z}^r$ は有限パルンドローム幅を持つだろうか？また、そのタイトな上界は何か？
• RQ2 有限生成メタアベル群の有限パルンドローム幅は、先行研究に依存しない自立的証明によって示せるか？
• RQ3 正規部分群に関するmax-n条件を満たす有限生成可解群は、ある有限生成集合に関して有限パルンドローム幅を持つだろうか？
• RQ4 有限生成群において、有限交換子幅と有限パルンドローム幅の間に何らかの関係があるだろうか？
• RQ5 標準生成集合に関して、ランク $r$ の自由メタアベル群のパルンドローム幅は何か？

主な発見

• $A \cup S$ を生成集合とする $G \wr \mathbb{Z}^r$ のパルンドローム幅は、$S$ を $\mathbb{Z}^r$ の標準生成集合とするとき、$3r + \mathrm{PW}(G,A)$ 以下である。
• $r=1$ の場合、$G \wr \mathbb{Z}$ のパルンドローム幅は $2 + \mathrm{PW}(G,A)$ 以下であり、$\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}$ では等号が成立し、正確に3に等しい。
• 本稿では、バーダコフおよびゴンゴパダイの先行研究に依存しない、有限生成メタアベル群がすべて有限パルンドローム幅を持つことを自立的に証明する。
• max-n 条件を満たす有限生成可解群は、交換子と共役を用いて導来系列の要素のパルンドローム長を有界化することで、有限パルンドローム幅を持つ。
• max-n を満たす有限生成可解群 $G$ のアーベル化 $G/G'$ は、最小生成集合のサイズに等しい有限パルンドローム幅を持つ。
• この結果は、$\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}$ のように、有界生成ではないが有限パルンドローム幅を持つ有限生成群の存在を示唆する。