[論文レビュー] Parahoric bundles on a compact Riemann surface

V. Balaji, C. S. Seshadri|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、種数 $g \geq 2$ のコンパクトなリーマン面 $X$ 上のブラー・ティツ群スキーム $\sigma$ における半安定および安定なパラホリック torsor を導入し、半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor のモジュライ空間を構成し、その基になる位相的空間を $G$ の最大コンpakト部分群へのフクシアン群の準同型の空間と同定する。本研究は、再帰的群スキームおよびパラホリック構造の設定において、メーハとセーシャドリのパラボリックベクトル bundle 理論を一般化する。

ABSTRACT

Let $X$ be an irreducible smooth projective algebraic curve of genus $g \geq 2$ over the ground field $\bc$ and let $G$ be a semisimple simply connected algebraic group. The aim of this paper is to introduce the notion of semistable and stable parahoric torsors under a certain Bruhat-Tits group scheme $\mathcal G$ and construct the moduli space of semistable parahoric $\mathcal G$--torsors; we also identify the underlying topological space of this moduli space with certain spaces of homomorphisms of Fuchsian groups into a maximal compact subgroup of $G$. The results give a generalization of the earlier results of Mehta and Seshadri on parabolic vector bundles. This is the final version of the accepted paper.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面上の単純な単連結な代数的群の設定において、パラボリックベクトルバンドル理論を拡張すること。
• 種数 $g \geq 2$ の曲線 $X$ 上のブラー・ティツ群スキーム $\mathcal{G}$ に対して、半安定および安定なパラホリック $\mathcal{G}$-torsor を定義すること。
• 半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor をパrameter するモジュライ空間を構成すること。
• このモジュライ空間の基になる位相的空間を、フクシアン群から $G$ の最大コンパクト部分群への準同型の空間と同定すること。

提案手法

• ブラー・ティツ群スキームの理論を用いて、曲線 $X$ 上の代数的群におけるパラホリック構造を定義する。
• 幾何的不変量理論の技法を適用して、半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor のモジュライ空間を構成する。
• 点を除いた $X$ の基本群の表現とパラホリック torsor の間の同倣関係に依拠する。
• モジュライ空間の基になる位相的空間と、フクシアン群から $G$ の最大コンパクト部分群への準同型の空間との間にホメオモーティズムを確立する。
• パラボリックバンドルにおける安定性および半安定性の概念を、パラホリック torsor の文脈に適応する。
• 再帰的群スキームおよびそのパラホリックレベル構造の理論を用いて、メーハ＝セーシャドリの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリックベクトルバンドルにおける安定性の概念は、ブラー・ティツ群スキームの下でのパラホリック torsor の文脈にどのように一般化できるか？
• RQ2 種数 $g \geq 2$ のコンパクトなリーマン面上の半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor のモジュライ空間の構造はどのようなものか？
• RQ3 このモジュライ空間の基になる位相的空間は、フクシアン群の表現空間とどのように関係しているか？
• RQ4 この構成は、古典的なメーハ＝セーシャドリのパラボリックバンドル理論をどの程度一般化するか？
• RQ5 $G$ の最大コンパクト部分群は、パラホリック torsor の位相的分類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、種数 $g \geq 2$ のコンパクトなリーマン面上の半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor をパrameter するモジュライ空間を構成する。
• このモジュライ空間の基になる位相的空間は、自然に $G$ の最大コンパクト部分群へのフクシアン群の準同型の空間と同一視される。
• この構成は、再帰的群スキームおよびパラホリック構造の文脈において、メーハ＝セーシャドリのパラボリックベクトルバンドル理論を一般化する。
• 半安定性および安定性条件は、ブラー・ティツ群スキームの枠組みを用いて厳密に定義される。
• モジュライ空間が射影的スキームであることが示され、ベクトルバンドルのモジュライの古典的コンパクト化が拡張されている。
• 位相的空間と表現空間との同定により、フクシアン群表現の観点からモジュライ空間の幾何的実現が得られる。