[論文レビュー] Parity of the Langlands parameters of conjugate self-dual representations of GL(n) and the local Jacquet-Langlands correspondence

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、p進体 F 上の GL(n) の共役自己双対超臨界表現 π について、局所 Jacquet-Langlands 対応を用いて、Langlands パrameter の偶奇を決定する。著者らは、除法代数 D× 上に明示的な自己同型 τ を構成し、誘導される表現の偶奇を解析することで、GL(n,F) の表現 π の Langlands パrameter の偶奇が (−1)ⁿ⁻¹ 倍の JL(π) の偶奇に等しいことを確立する。これは、Prasad と Ramakrishnan の自己双対の場合の結果を、共役自己双対の場合に拡張したものである。

ABSTRACT

We determine the parity of the Langlands parameter of a conjugate self-dual supercuspidal representation of GL(n) over a non-archimedean local field by means of the local Jacquet-Langlands correspondence. It gives a partial generalization of a previous result on the self-dual case by Prasad and Ramakrishnan.

研究の動機と目的

• Prasad と Ramakrishnan の自己双対表現に関する結果を、共役自己双対の設定に拡張すること。
• 局所 Jacquet-Langlands 対応を用いて、GL(n,F) の共役自己双対超臨界表現の Langlands パrameter の偶奇を決定すること。
• F/F⁺ 上の Galois 行動を引き伸ばすことができ、共役自己双対性および D× 表現の偶奇を定義可能となるようにする、D× 上の明示的自己同型 τ を構成すること。
• GL(n,F) の表現 π の Langlands パrameter の偶奇と、その Jacquet-Langlands 移行 JL(π) ∈ D× の偶奇との間の明示的関係式を確立すること。
• 主定理を用いて、単純超臨界表現の偶奇を計算し、特に内包的リフトの文脈において応用すること。

提案手法

• 著者らは、非アーベル Lubin-Tate 理論を用いて、Lubin-Tate ツアーの ℓ-進エタールコホモロジーに、局所 Langlands 対応および Jacquet-Langlands 対応を実現する。
• F/F⁺ 上の Galois 行動を拡張する自己同型 τ: D× → D× を構成し、τ²(d) = tdt⁻¹ を満たす固定元 t ∈ D× を用いることで、D× 上での共役自己双対性の定義が可能になる。
• D× 表現の偶奇は、D× のコンパクト開部分群 H に沿った文字 ψ を用い、(H, Ψ⁻¹) と (H^τ, Ψ^τ) 間の相互作用作用素を用いて定義される。
• 主な技術的道具は、命題 2.6 であり、これは特定の要素 z ∈ D× を、相互作用データから構成し、その文字値 Ψ(z) として偶奇を計算する。
• 証明は、F/F⁺ の分岐性および除法代数 D の構造に基づく場合分け（非分岐、分岐、分裂）に従う。
• 著者らは主定理を単純超臨界表現に適用し、文字値と関連する体拡大の構造を用いて、偶奇を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体 F 上の GL(n,F) の共役自己双対超臨界表現 π の Langlands パrameter の偶奇は何か？
• RQ2 局所 Jacquet-Langlands 対応は、GL(n,F) の表現 π の Langlands パrameter の偶奇と、D× の JL(π) の偶奇との間にどのように関係するか？
• RQ3 局所 Jacquet-Langlands 対応のもとで、Langlands パrameter の偶奇は、JL(π) の表現論的データから純粋に決定可能か？
• RQ4 共役自己双対設定において、C_rec_F(π) と C_JL(π) の明示的関係式は何か？
• RQ5 Langlands パrameter の偶奇は、π の起源（基本拡大または内包的リフト）をどのように特定するか？

主な発見

• GL(n,F) の共役自己双対超臨界表現 π の Langlands パrameter の偶奇は、C_rec_F(π) = (−1)ⁿ⁻¹ C_JL(π) で与えられ、ここで C_JL(π) は D× への Jacquet-Langlands 移行の偶奇である。
• 非分岐な二次拡大 F/F⁺ で ϖ ∈ F⁺ の場合、rec_F(π) の偶奇は χ(ε)c である。ここで ε は ε^{q′−1} = −1 を満たし、χ は π の中心的文字である。
• 分岐した二次拡大で τ(ϖ) = −ϖ かつ p ≠ 2 の場合、rec_F(π) の偶奇は、χ が自明であれば 1、非自明であれば −1 である。
• 分裂状況 F = F⁺ の場合、rec_F(π) の偶奇は、χ が自明であれば −1、非自明であれば 1 であり、これはシンプレクティック型と直交型の双対性を反映している。
• GL(2n,F) の自己双対単純超臨界表現について、Langlands パrameter がシンプレクティック型であることは、中心的文字が自明であることと同値であり、これは内包的リフト結果の主要な前提を確認する。