[论文解读] Perfect powers that are sums of consecutive squares

Vandita Patel|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

graph theory and CDMA systems被引用 8

一句话总结

本文利用代数数论与丢番图分析，确定了可表示为最多10个连续平方和的所有完全幂。结果表明，当 $ d \leq 10 $ 时，方程 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ 在 $ n \geq 2 $ 条件下的解为：当 $ n \geq 3 $ 时仅有有限多组解，而当 $ n = 2 $、$ d = 2 $ 时存在无限多组解，且当 $ d = 6 $、$ n \geq 3 $ 时无解。主要贡献在于对给定范围内此类完全幂的完整分类。

ABSTRACT

We determine all perfect powers that can be written as the sum of at most 10 consecutive squares.

研究动机与目标

• 对可表示为最多10个连续平方和的所有完全幂进行分类。
• 在整数范围内求解丢番图方程 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $，其中 $ 2 \leq d \leq 10 $，$ n \geq 2 $。
• 扩展先前关于幂和的研究，处理此前未解决的案例，特别是 $ d = 6 $ 和 $ d = 8 $ 且 $ n = 2 $ 的情形。
• 应用代数数论与 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $ 中的理想分解，排除 $ d = 6 $ 且 $ n $ 为奇素数时的解。
• 利用 Bilu、Hanrot 和 Voutier 的本原因子定理，对可能的指数进行有界处理，并排除大素数幂的情形。

提出的方法

• 利用恒等式 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = dx^2 + d(d+1)x + \frac{d(d+1)(2d+1)}{6} $ 将方程转化为二次形式。
• 通过配方法将和表示为 $ d\left(\left(x + \frac{d+1}{2}\right)^2 + \frac{(d-1)(d+1)}{12}\right) = y^n $。
• 应用引理 2.1（Zhang 和 Bai）基于 $ d $ 的素因子及其模 $ n $ 的阶，排除 $ d \in \{5,7,10\} $ 的情形。
• 利用 2-adic 和 3-adic 赋值引理（引理 2.2 和 2.3），证明 $ n \mid (r-1) $，其中 $ r = \text{ord}_2(d) $ 或 $ \text{ord}_3(d) $，从而排除 $ d = 4, 9 $ 以及 $ d = 8 $ 且 $ n \geq 3 $ 的情形。
• 将 $ d = 6 $ 的情形约化为方程 $ X^2 + 105 = 6y^p $，其中 $ X = 6x + 21 $，并在 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $ 的整数环中进行因式分解。
• 通过 Bilu-Hanrot-Voutier 的 Lehmer 序列与本原因子理论，将 $ p < 30 $ 作为上界，随后对 $ p = 3, 5, 7, 13 $ 进行直接验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些完全幂 $ y^n $ 可以表示为最多10个连续平方和？
• RQ2 是否存在满足 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ 的解，其中 $ d \in \{6,8\} $，$ n \geq 3 $，且 $ y \neq \pm 1 $？
• RQ3 当 $ d = 2 $，$ n = 2 $ 时，完整的解集是什么？
• RQ4 方程 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ 在 $ d = 6 $，$ n \geq 3 $ 时是否有解？
• RQ5 在 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $ 中，类群结构与理想分解在排除 $ d = 6 $ 的解中起到何种作用？

主要发现

• 当 $ n \geq 3 $ 时，唯一解为 $ (d,x,y,n) = (2,-1,\pm1,2r), (2,-2,\pm1,2r), (2,-1,1,2r+1), (2,-2,1,2r+1), (2,118,\pm13,4), (2,-121,\pm13,4) $。
• 当 $ d = 2 $，$ n = 2 $ 时，存在一个无限多组解的参数族，由 $ 2x+3 + y\sqrt{2} = \pm(1+\sqrt{2})^{2r+1} $ 给出，其中 $ r \in \mathbb{Z} $。
• 当 $ d = 6 $，$ n \geq 3 $ 时无解，这是通过在 $ \mathbb{Z}[\sqrt{-105}] $ 中的理想分解以及相关 Lehmer 序列中无本原因子所证明。
• $ d = 4, 8, 9 $ 在 $ n \geq 3 $ 时被排除，依据是 2-adic 和 3-adic 赋值论证，即 $ n \mid (r-1) $，而当 $ r \geq 2 $ 时该条件不成立。
• 当 $ d = 8 $，$ n = 2 $ 时，通过模运算被排除：左边为 $ 6 \pmod{8} $，而右边为 $ 2 \pmod{8} $。
• 当 $ d = 6 $，$ n = 2 $ 时，通过证明 $ 3(2x+7)^2 + 35 \equiv 6 \pmod{8} $，而 $ 2y^2 \equiv 2 \pmod{8} $，导致矛盾，从而被排除。