[論文レビュー] Physical and unphysical regimes of self-consistent many-body perturbation theory

Kris Van Houcke, Evgeny Kozik+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 79被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、自己無撞着な多体摂動理論において、無限次の骨格級数の切り捨てが、形式的には正確であるにもかかわらず、物理的に意味のない結果に収束する領域を特定している。ゼロ次元のフェルミオン的トロイモデルと半分満たされた Hubbard 原子を分析することで、著者らは強い結合領域で誤った極限への収束が生じることを示し、正確なベンチマークを必要とせずに、このような誤った収束を検出するための基準（修正された逐次収束基準）を検証した。

ABSTRACT

In the standard framework of self-consistent many-body perturbation theory, the skeleton series for the self-energy is truncated at a finite order $\mathcal{N}$ and plugged into the Dyson equation, which is then solved for the propagator $G_{\mathcal{N}}\,$. We consider two examples of fermionic models, the Hubbard atom at half filling and its zero space-time dimensional simplified version. First, we show that $G_{\mathcal{N}}\,$ converges when $\mathcal{N} o\infty$ to a limit $G_\infty\,$, which coincides with the exact physical propagator $G_{ m exact}\ $ at small enough coupling, while $G_\infty eq G_{ m exact}\ $ at strong coupling. This follows from the findings of [Kozik, Ferrero and Georges, PRL 114, 156402 (2015)] and an additional subtle mathematical mechanism elucidated here. Second, we demonstrate that it is possible to discriminate between the $G_\infty=G_{ m exact}\ $ and $G_\infty eq G_{ m exact}\ $ regimes thanks to a criterion which does not require the knowledge of $G_{ m exact}\ $, as proposed in [Rossi et al., PRB 93, 161102(R) (2016)].

研究の動機と目的

• 無限次の切り捨て順序 N の極限における自己無撞着な多体摂動理論の収束挙動を調査すること。
• 強く相関するフェルミオン系において、列 GN が正確な物理的伝播関数 G_exact に収束するのか、それとも物理的でない極限に収束するのかを特定すること。
• 正確な G_exact の知識が事前にない状況でも、[1]で提案された基準をテストし、検証すること。
• Dyson 方程式と骨格級数の文脈において、物理的でない収束の背後にある数学的メカニズムを明確にすること。
• 検出基準の適用範囲を、正確な解が得られない現実的なモデル（例：Hubbard 原子）に拡張すること。

提案手法

• 多体系問題を単純化し、収束挙動を分離するために、Grassmann 変数を用いたゼロ次元（空間時間的次元なし）のフェルミオン的トロイモデルを分析する。
• 自己エネルギーの切り捨てられた骨格級数（N 次まで）を用いて Dyson 方程式を解き、N → ∞ の極限における GN の挙動を検討する。
• わずかな摂動に対する系列の発散を観察することで、誤った収束を検出するための修正された逐次収束基準（ξ > 1）を適用する。
• 図式的モンテカルロ法を用いて、N = 6–8 まで骨格級数を計算し、数値的に正確な量子モンテカルロ結果と比較する。
• 反復解法に減衰項を導入することで、物理的でない領域における収束を安定化させ、減衰なしの反復では発散する領域を補償する。
• 物理的・物理的でない自己エネルギー関数の分岐を比較することで、正しい収束経路と誤った収束経路を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強く相関するフェルミオン系において、自己無撞着な多体系摂動理論は、N → ∞ の極限で正確な物理的伝播関数に収束するか？
• RQ2 正確な解 G_exact の知識が得られない状況でも、GN → G∞ ≠ G_exact のような誤った収束を検出できるか？
• RQ3 骨格級数における物理的でない極限への収束の背後にある数学的メカニズムは何か？
• RQ4 修正された逐次収束基準（ξ > 1）は、物理的・物理的でない収束領域をどれほど正確に区別できるか？
• RQ5 ゼロ次元のトロイモデルで観察された挙動は、正確な解が得られない現実的なモデル（例：Hubbard 原子）にどの程度一般化可能か？

主な発見

• ゼロ次元のトロイモデルにおいて、強い結合領域では骨格級数の形式的収束にもかかわらず、列 GN が物理的でない極限 G∞ ≠ G_exact に収束することが判明した。
• 半分満たされた Hubbard 原子においても、数値的証拠により、強い結合領域で GN が物理的でない極限に収束することが強く示唆された。これは、現実的なモデルでも同様の現象が生じることを確認した。
• 修正された逐次収束基準（ξ > 1）は、誤った収束を効果的に検出できた：GN が物理的でない場合、系列は発散するが、GN が物理的である場合には収束を保ったままだった。
• 弱い結合領域では、元の系列（ξ = 1）は G_exact に収束し、修正された系列（ξ > 1）も収束を保った。これは、収束が信頼できる状態にあることを示している。
• この基準により、正確な伝播関数 G_exact の知識がなくても、誤った収束を信頼性高く検出できることが示された。
• 物理的でない領域では反復解法に減衰項が必要であり、その必要十分性は N の増加に伴い増大する。これは、減衰なしの手続きが不安定であることを示唆している。