[論文レビュー] Pointwise convergence of some multiple ergodic averages

Sebastián Donoso, Wenbo Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換な変換を伴うエルゴディック系において、satedおよびマジック拡張とトポロジカルモデルを用いて、複数のエルゴディック平均の逐次的収束を確立する。立方配置および対角化された複数平均の収束がほとんど everywhere で成り立つことを証明し、既存の結果をdistal系へと拡張し、エルゴディック自己結合測度を用いた$L^2$-極限の特徴付けのための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We show that for every ergodic system $(X,μ,T_1,\ldots,T_d)$ with commuting transformations, the average \[\frac{1}{N^{d+1}} \sum_{0\leq n_1,\ldots,n_d \leq N-1} \sum_{0\leq n\leq N-1} f_1(T_1^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x)f_2(T_2^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x)\cdots f_d(T_d^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x). \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o\infty$. If $X$ is distal, we prove that the average \[\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N} f_1(T_1^nx)f_2(T_2^nx)\cdots f_d(T_d^nx) \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o\infty$. We also establish the pointwise convergence of averages along cubical configurations arising from a system commuting transformations. Our methods combine the existence of sated and magic extensions introduced by Austin and Host respectively with ideas on topological models by Huang, Shao and Ye.

研究の動機と目的

• 可換な変換を伴うエルゴディック系における複数エルゴディック平均の逐次的収束を確立すること。
• 既知の$L^2$収束結果を、特に立方および対角配置に対して逐次的収束へと拡張すること。
• エルゴディック自己結合測度$\mu_x^F$を用いて、複数平均の$L^2$-極限を特徴付けること。
• 等距拡張およびFurstenberg-Zimmer 構造定理を用いて、distal系における逐次的収束を証明すること。
• 収束解析のためのトポロジカルダイナミクス、sated 拡張、マジック拡張の技術を統合すること。

提案手法

• Austin および Host が導入した sated およびマジック拡張を用いて、拡張を通じて収束性を持ち上げる。
• Huang, Shao, および Ye のトポロジカルモデルを用いて、最小系における収束を分析する。
• $Y^{[d]}$ 上の自己結合測度$\nu_{T_1,\ldots,T_d}$のエルゴディック分解を用いて、立方平均を分析する。
• 複数平均の$L^2$-極限を記述するために、Furstenberg-Ryzhikov 自己結合$\mu^F_x$を用いる。
• Jensenの不等式および分離スクリーブを用いて、分解における測度の一意性およびエルゴディック性を証明する。
• 可換な変換の数に関する帰納法を用い、等距拡張を介して$i-1$個の変換のケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な変換を伴うエルゴディック系において、平均$\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n_1,\ldots,n_d,n=0}^{N-1} \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n \prod_{k=1}^d T_k^{n_k} x)$は$\mu$-a.e. $x\in X$で$N\to\infty$のとき逐次的に収束するか？
• RQ2 複数平均の$L^2$-極限$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n x)$は、エルゴディック自己結合測度$\mu_x^F$によって特徴付けられるか？
• RQ3 可換な変換を伴うdistal系において、平均$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$は$\mu$-a.e. で逐次的に収束するか？
• RQ4 Furstenberg-Zimmer 構造定理を用いて、等距拡張を通じて複数平均の逐次的収束を持ち上げることは可能か？
• RQ5 $Y^{[d]}$ 上の$d$重自己結合$\nu_{T_1,\ldots,T_d}$のエルゴディック分解$\nu_{T_1,\ldots,T_d} = \int \nu_{\vec{x}} \,d\nu_{T_1,\ldots,T_d}(\vec{x})$において、各ファイバー測度$\nu_{\vec{x}}$は面変換$\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1$に関してマジック的であるか？

主な発見

• 可換な変換を伴うエルゴディック系において、平均$\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n_1,\ldots,n_d,n=0}^{N-1} \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n \prod_{k=1}^d T_k^{n_k} x)$は$N\to\infty$のとき$\mu$-a.e. $x\in X$で収束する。
• 複数平均の$L^2$-極限$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$は、$\mu$-a.e. $x\in X$で$\int f_1\otimes\cdots\otimes f_d \,d\mu_x^F$に等しい。ここで$\mu_x^F$はエルゴディック自己結合である。
• distal系において、平均$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$は$N\to\infty$のとき$\mu$-a.e. で逐次的に収束する。
• $Y^{[d]}$ 上の自己結合$\nu_{T_1,\ldots,T_d}$のエルゴディック分解$\nu_{T_1,\ldots,T_d} = \int \nu_{\vec{x}} \,d\nu_{T_1,\ldots,T_d}(\vec{x})$において、$\nu_{\vec{x}}$は$\nu_{T_1,\ldots,T_d}$-a.e. の$\vec{x}$で$\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1$に関してマジック的である。
• $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$はマジック的である。すなわち、すべての$k\in\mathbb{N}$に対して$\|f_k - \mathbb{E}_{\nu_{\vec{x}}}(f_k \mid \bigvee_{i=1}^d \mathcal{I}_{\mathcal{F}_i^1})\|_{\nu_{\vec{x}},\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1} = 0$が成り立つ。
• 証明は、自己結合測度$\mu_x^F$のエルゴディック性によって可能となる、等距拡張およびFurstenberg-Zimmer 構造定理を用いた収束の持ち上げに依存する。