[論文レビュー] Polynomial families of tautological classes on $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$

Renzo Cavalieri, Steffen Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定な有理尾付き曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 上で、相対的安定写像から得られる2つのタウトロジカルクラス $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ と、普遍ジャコビアンの切断から得られる $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$ の正確な比較を確立する。$R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$ 内で $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$ が成り立つことを証明し、仮想局在化を用いて genus 1 かつ総長さ 3 の場合の明示的な多項式係数を計算し、$\psi$ および $\delta_1$ クラスの言及で表現する。

ABSTRACT

We study classes $P_{g,T}(α;β)$ on the moduli space of stable, genus g curves with rational tails defined by pushing forward the virtual fundamental classes of spaces of relative stable maps to an unparameterized projective line. A comparison with classes $Q_{g,T}$ arising from sections of the universal Jacobian shows the classes $P_{g,T}(α;β)$ are polynomial in the parts of the partitions indexing the special ramification data. Virtual localization on moduli spaces of relative stable maps gives sufficient relations to compute the coefficients of these polynomials in various cases.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 上で、2つの幾何的に定義されたタウトロジカルクラスを比較する：一方は相対的安定写像の仮想押し出しによるもので、他方は普遍ジャコビアンの切断によるものである。
• これらのクラスが分岐データに符号を反転させた場合に等しくなることを示す。具体的には、$R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$ 内で $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$ が成り立つことである。
• 仮想局在化技術を用いて、genus 1 における $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$ の係数を明示的に計算する。

提案手法

• 相対的安定写像のモジュライ空間から $\mathbb{P}^1$ への写像で、0 および $\infty$ における指定された分岐を持つものに対して、安定化を経て基本クラスの仮想押し出しとして $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ を定義する。
• 各点 $p_i$ に重み $k_i$ を持つ除集合クラス $\sum k_i p_i$ を用いて定義される切断によって、普遍ジャコビアンのゼロ切断の引き戻しとして $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$ を定義する。
• 相対的安定写像のモジュライ空間上で仮想局在化を適用し、タウトロジカルクラスの間の関係を導出し、多項式 $P_{g,T}$ の係数を計算する。
• Ravi Vakil の $Q_{g,T}$ に関する多項式性の結果と、Hain のコホホロジーにおける $Q_{g,T}$ の明示的公式を活用し、多項式構造を導出する。
• 比較 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$ を用いて、$P_{1,T}$ の計算を既知のタウトロジカル表現に還元する。
• genus 1 で総長さ 3 の場合を用いて、一般の $P_{1,T}$ の公式を $\psi_1$ および $\delta_1$ 型の境界クラスで導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的安定写像から得られるタウトロジカルクラス $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ と、普遍ジャコビアンから得られる $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$ は、$\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 上で等しいか？
• RQ2 仮想局在化技術を用いて、多項式 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ の係数を明示的に計算できるか？
• RQ3 genus 1 で任意の総長さ $T$ に対して、$P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$ の明示的なタウトロジカル表現は何か？
• RQ4 $P_{1,3}(d;\alpha_2,\alpha_3)$ の係数は、標準的なタウトロジカルクラス $\psi_1$ および $\delta_1$ 型境界クラスにどのように分解されるか？
• RQ5 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ の分岐データ $\alpha, \beta$ における多項式性は、係数の構造に反映されているか？

主な発見

• クラス $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ と $Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$ は $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$ 内で等しく、相対的安定写像とジャコビアンの切断の間の深い幾何的対応を確立する。
• genus 1 かつ総長さ 3 の場合、$P_{1,3}(d;\alpha_2,\alpha_3)$ の係数は $\mathcal{R}^1(\mathcal{M}_{1,3}^{rt})$ 内で明示的に与えられる：$A_2 = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(2|1,3)$、$A_3 = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(3|1,2)$、$B = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(1|2,3)$。
• 一般の genus 1 の多項式 $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$ は、$\sum_{i=2}^T A_i \alpha_i^2 + \sum_{i>j} B_{i,j} \alpha_i \alpha_j$ の形に表現され、ここで $A_i = \psi_1 - \sum_{\substack{J\subset[T],\, |J|\geq 2\\ 1\in J,\, i\notin J}} \overline{\mathrm{D}}_{1,0}([T]-J|J)$ および $B_{i,j} = \psi_1 - \sum_{\substack{J\subset[T],\, |J|\geq 2\\ 1\in J,\, i,j\notin J}} \overline{\mathrm{D}}_{1,0}([T]-J|J)$ である。
• 本稿は、Looijenga の古典的結果の変種を回復する：$P_{g,2}(d;d) = d^{2g} P_{g,2}(1;1)$ であり、正弦関数に類似した関数の対数を含む母関数が得られる。
• $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$ の比較により、$g \geq 2$ の genus における $P_{g,T}$ のタウトロジカル表現を、Hain のコホホロジー公式を用いて導出可能である。
• 相対的モジュライ空間の障害理論が、完全な系列と局所解析を経て完全であることが示され、仮想基本クラスが適切に定義されていることが確認された。