[论文解读] Predicativity and parametric polymorphism of Brouwerian implication

Mark van Atten|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文主张通过物种上函数的参数多态性，Brouwer直觉主义蕴含是 predicative（predicative）的，从而反驳了直觉主义逻辑中蕴含常被指责为非 predicative（非 predicative）的常见观点。它表明，Brouwer 对蕴含的功能性解释通过依赖于典范的、直觉上给定的构造，而非对证明总体的量化，从而避免了恶性循环。

ABSTRACT

A common objection to the definition of intuitionistic implication in the Proof Interpretation is that it is impredicative. I discuss the history of that objection, argue that in Brouwer's writings predicativity of implication is ensured through parametric polymorphism of functions on species, and compare this construal with the alternative approaches to predicative implication of Goodman, Dummett, Prawitz, and Martin-Löf.

研究动机与目标

• 回应长期以来关于直觉主义蕴含在证明解释中是非 predicative 的批评。
• 证明 Brouwer 对蕴含的理解通过物种上函数的参数多态性避免了恶性循环。
• 将 Brouwer 的方法与 Goodman、Dummett、Prawitz 和 Martin-Löf 提出的其他 predicative 账户进行对比。
• 澄清直觉主义数学中证明与函数的本体论地位，强调其非总括性、构造性的本质。
• 通过表明蕴含的定义并不需要预先存在的证明总体，来捍卫证明解释的一致性。

提出的方法

• 分析 Brouwer 的典范证明概念及其在避免依赖于已完成的证明总体中的作用。
• 将参数多态性的概念应用于物种上的函数，表明此类函数在构造上即为 predicative。
• 考察巴定理及其典范形式，作为直觉上给定、非语言性构造的证据。
• 将功能性解释（Brouwer、Martin-Löf）与依赖于消去规则的语义理论方法（Dummett、Prawitz）进行对比。
• 通过历史与哲学分析 Brouwer 的著作，重构直觉主义函数的本体论基础。
• 主张直觉主义中缺乏固定的证明总体，从而防止了定义恶性非 predicative 性所依赖的循环性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在证明解释中，直觉主义蕴含的定义是否如普遍所声称的那样，本质上是非 predicative 的？
• RQ2 Brouwer 如何通过物种上函数的参数多态性确保蕴含的 predicative 性？
• RQ3 Brouwer 的典范证明概念在何种意义上避免了对证明总体的依赖？
• RQ4 Brouwer 对蕴含的功能性解释与基于证明论归约的语义理论方法有何不同？
• RQ5 直觉主义中不断增长的证明宇宙概念能否与蕴含的连贯定义相调和？

主要发现

• Brouwer 对蕴含的定义在恶性意义上并非非 predicative，因为它依赖于物种上函数的参数多态性，而非对证明总体的量化。
• 巴定理中证明的典范形式源于所涉对象的内在结构，而非对所有可能证明形式的把握。
• 直觉主义中的证明概念并非一个固定的总体，而是一个不断增长、开放的集合，从而防止了定义非 predicative 性所依赖的循环性。
• 如 Brouwer 和 Martin-Löf 的功能性解释，比基于消去规则的语义理论方法更能捕捉原始直觉主义的构造过程。
• 当‘构造’被理解为通过参数多态性定义的函数时，证明解释中关于蕴含的条款是自洽的。
• Brouwer 拒绝幂集公理，并强调数学结构的直观给定性，支持了对蕴含的 predicative 解读。