[論文レビュー] Pro-unipotent harmonic actions and a computation of $p$-adic cyclotomic multiple zeta values

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

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ひとこと要約

本稿は、pro-無限小調和作用という新しい枠組みを用いて、$p$-進コサイクロトミック多重ゼータ値（pMZV）の明示的公式を確立する。この枠組みにより、$p$-進積分と調和フロベニウス写像を介した級数の間の関係が確立され、阿部・廣瀬・安田による有限MZVに関する予想が証明され、すべての$p$-進完備化において積分表現と級数表現の完全な双対性が確立される。

ABSTRACT

We obtain formulas relating $p$-adic cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic sums. In particular, we obtain a series formula for $p$-adic cyclotomic multiple zeta values, and conversely a formula for certain cyclotomic multiple harmonic sums in terms of $p$-adic cyclotomic multiple zeta values. Our formulas are related to the motivic framework via a new notion which we call pro-unipotent harmonic actions, which are ad hoc $p$-adic byproducts of the Ihara action. As an application, we prove a conjecture of Akagi, Hirose and Yasuda on the relation between $p$-adic multiple zeta values and multiple harmonic sums, and we generalize it to the cyclotomic case. We also deduce bounds on the dimension of the spaces of finite cyclotomic multiple zeta values.

研究の動機と目的

• $p$-進コサイクロトミック多重ゼータ値（pMZV）の基礎的理論を、明示的公式を用いて構築すること。
• pro-無限小調和作用の概念を導入し、$p$-進積分と調和級数の間の橋渡しとする。
• $p$-進コサイクロトミックMZVを重み付き多重調和和の明示的表現として計算するという、長年の未解決問題を解決すること。
• $p$-進積分表現と$p$-進級数表現の間の双対性を確立し、モチーフ的ガロア作用と整合させる。
• 阿部・廣瀬・安田による有限多重ゼータ値に関する予想を、$p$-進コサイクロトミックMZVと関連付けて証明すること。

提案手法

• KZ接続のフロベニウス構造を介して定義される、$p$-進積分と級数を結ぶ新しい構造としてpro-無限小調和作用を導入する。
• 調和フロベニウス写像を用いて、コロンネル積分値と重み付き多重調和和との間の標準的同一化 $K\langle\langle e_{0\cup\mu_N}\rangle\rangle_{\text{har}}^{\int} = K\langle\langle e_{0\cup\mu_N}\rangle\rangle_{\text{har}}^{\Sigma}$ を確立する。
• 【J I-1】の主要結果を応用し、$p$-進コサイクロトミックMZVをコサイクロトミック多重調和和の項で明示的に表現する公式を導出する。
• 調和和の $p^\alpha m + r$ における分割およびシフト公式を確立し、$p$-進完備化全域にわたる解析接続と係数の制御を可能にする。
• すべての$p$-進完備化の積をとることでアーデリック枠組みを構成し、コサイクロトミック体$C_N$を $\prod_{(p,\alpha)} K_p$ に対角的に埋め込む。
• グローバルな対象 $\widehat{\mathcal{Z}}_{\mathcal{P}_N^{\mathbb{N}^*},d}^{\int}$ と $\widehat{\mathcal{Z}}_{\mathcal{P}_N^{\mathbb{N}^*},d}^{\Sigma}$ を定義し、それらが等しいことを証明することで、積分表現と級数表現の統合を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進コサイクロトミック多重ゼータ値は、調和和の項で明示的公式として計算可能か？
• RQ2 調和構造を用いて、$p$-進設定におけるモチーフ的ガロア作用をどのように表現できるか？
• RQ3 $p$-進積分と$p$-進級数表現の間の正確な関係は何か？
• RQ4 阿部・廣瀬・安田による有限MZVに関する予想は、$p$-進設定でも成立するか？
• RQ5 すべての$N$を割らない素数$p$について、$p$-進コサイクロトミックMZVを統一するグローバルなアーデリック枠組みを構築可能か？

主な発見

• 本稿は、$p$-進コサイクロトミック多重ゼータ値をコサイクロトミック多重調和和の項で明示的に表現する公式を提供し、長年の未解決問題を解決した。
• 積分の調和フロベニウスと級数の調和フロベニウスが標準的に同型であることを証明し、すべての$p$-進完備化において一意な「調和フロベニウス」を定義可能であることを示した。
• 阿部・廣瀬・安田による有限MZVに関する予想は、$p$-進積分と級数の双対性を介して、調和フロベニウス構造と関連づけられ、確認された。
• グローバルなアーデリック対象 $\widehat{\mathcal{Z}}_{\mathcal{P}_N^{\mathbb{N}^*},d}^{\int} = \widehat{\mathcal{Z}}_{\mathcal{P}_N^{\mathbb{N}^*},d}^{\Sigma}$ が構成され、アーデリック設定において積分表現と級数表現が等価であることが示された。
• 分割およびシフト公式を用いて、$\operatorname{har}_{p^\alpha m + r}$ が $\operatorname{har}_{p^\alpha m}$ と $p^\alpha m$ の解析関数の多項式として、係数が $\operatorname{har}_r$ の項で表される形に表現可能であることが分かった。
• この枠組みにより、調和級数展開におけるすべての係数が必要な$p$-進バインディングを満たしており、$p$-進体のアーデリック積全域にわたって一貫した定義が可能であることが保証された。