[論文レビュー] Proximal Delaunay Triangulation Regions

J. F. Peters|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、共通の頂点を共有するDelaunay三角形の集合からなる近接Delaunay三角形分割領域が、凸集合の積として凸多角形であることを証明している。さらに、すべてのDelaunay三角形分割領域が局所的リーダー一様位相を備えていることが示され、計算幾何学および近接に基づくアルゴリズムにおける空間解析の位相的基盤が提供される。

ABSTRACT

A main result in this paper is the proof that proximal Delaunay triangulation regions are convex polygons. In addition, it is proved that every Delaunay triangulation region has a local Leader uniform topology.

研究の動機と目的

• 共通の頂点を共有するDelaunay三角形からなる近接Delaunay三角形分割領域の幾何的凸性を確立すること。
• 近接関係と一様位相を用いてDelaunay三角形分割領域の位相的構造を形式化すること。
• Delaunay三角形の性質とVoronoï領域を、外接円の中心を介して結びつけること。
• Delaunay三角形分割を用いて密度などの空間的性質を計算する数値アルゴリズムの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 凸集合の定義および凸集合の積（補題1.1）を用いて、近接Delaunay三角形分割領域が凸多角形であることを証明する。
• Voronoï領域とDelaunay三角形間の近接性（δ）および強近接性（δ̈）の概念を適用し、隣接性と接続性を特徴付ける。
• Delaunay三角形が互いに強近接である場合に限り、Delaunay三角形の集合をその和集合として定義し、共通の辺または頂点を共有することを保証する。
• 外接円の中心を重要な幾何的不変量として用いる：三角形がDelaunayであるための必要十分条件は、その外心が3つのVoronoï領域の閉包の共通部分に位置することである。
• 近接関係δに基づき、特定の三角形に近接するすべてのDelaunay三角形を同定することで、局所的リーダー一様位相を適用する。
• 制約条件の下でも辺の有効性を保証するため、制約付き三角形分割と視認性条件を用い、Delaunay性が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近接Delaunay三角形分割領域は凸多角形であるか。もしそうならば、その理由は何か？
• RQ2 Delaunay三角形分割領域の位相的構造は何か。また、一様位相を備えているか？
• RQ3 Voronoï領域と外接円の中心は、三角形のDelaunay性とどのように関係しているか？
• RQ4 視認性と近接関係を用いて、制約付き三角形分割における有効なDelaunay辺や三角形を特徴付けることができるか？
• RQ5 外心は、三角形のDelaunay条件を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 近接Delaunay三角形分割領域は、補題1.1により非空な凸集合の積として表されるため、凸多角形である。
• すべてのDelaunay三角形分割領域は、近接関係δに基づき、特定の三角形に近接するすべての三角形の集合として定義される局所的リーダー一様位相を備えている。
• 三角形がDelaunayであるための必要十分条件は、その外心が3つのVoronoï領域の閉包の共通部分に位置すること、すなわち u = cl(V_p) ∩ cl(V_q) ∩ cl(V_r) に一致することである。
• 強近接なDelaunay三角形は共通の辺を共有し、この隣接性はVoronoï領域が強近接であること（V_p δ̈ V_q δ̈ V_r）と同値である。
• 制約付き三角形分割において、点pとqが互いに視認可能であることは、辺pqの内部が他のサイトや辺から遠く離れていることを意味し、制約と交差しないことを保証する。
• すべての辺が局所的にDelaunayである、すなわち各辺が視認可能であり、辺の内部の点が外接円の内部にある点からも視認可能でない場合、制約付きDelaunay三角形分割は有効である。