[论文解读] Pseudo-randomness and Learning in Quantum Computation

Richard A. Low|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 97被引用 10

一句话总结

本论文提出了一类基于随机量子线路的高效量子 $k$-设计构造方法，证明其能快速收敛至 2-设计，并实现 $k = O(n / \log n)$ 的 $k$-设计。研究表明，$k$-设计可实现量子算法的去随机化并扩展大偏差界限，同时为 Clifford 群提供了最优的学习与测试协议，表明 $k$-设计在多项式 $k$ 范围内可模拟 Haar 测度，从而在减少随机性的同时实现高效的量子计算。

ABSTRACT

This thesis discusses the young fields of quantum pseudo-randomness and quantum learning algorithms. We present techniques for derandomising algorithms to decrease randomness resource requirements and improve efficiency. One key object in doing this is a k-design, which is a distribution on the unitary group whose kth moments match those of the unitarily invariant Haar measure. We show that for a natural model of a random quantum circuit, the distribution of random circuits quickly converges to a 2-design. We then present an efficient unitary k-design construction for any k, provided the number of qubits n satisfies k = O(n/log n). In doing this, we provide an efficient construction of a quantum tensor product expander, which is a generalisation of a quantum expander which in turn generalises classical expanders. We then discuss applications of k-designs. We show that they can be used to improve the efficiency of many existing algorithms and protocols and also find new applications to derandomising large deviation bounds. In particular, we show that many large deviation bound results for Haar random unitaries carry over to k-designs for k = poly(n). In the second part of the thesis, we present some learning and testing algorithms for the Clifford group. We find an optimal algorithm for identifying an unknown Clifford operation. We also give an algorithm to test if an unknown operation is close to a Clifford or far from every Clifford.

研究动机与目标

• 开发高效的量子 $k$-设计构造方法，以减少量子算法中的随机性。
• 证明随机量子线路能快速收敛至 2-设计，从而实现实际的去随机化。
• 通过证明 $k$-设计在 $k = \operatorname{poly}(n)$ 时可模拟 Haar 测度，将 $k$-设计的应用扩展至大偏差界限与统计力学。
• 设计 Clifford 群的最优学习与测试算法，实现对 Clifford 操作的高效识别与验证。

提出的方法

• 构建量子张量积展开器（QTPE），作为量子展开器的推广，以实现高效 $k$-设计的生成。
• 利用含局部门的随机量子线路，在 $O(n^2)$ 深度内实现向 2-设计的收敛，借助矩匹配与马尔可夫链分析。
• 应用对数 Sobolev 不等式与谱间隙分析，以界定混合时间并证明 $k$-设计的收敛性。
• 采用 Pauli 群分解与酉不变性，建立酉算符与其在 Pauli 操作符上共轭之间的距离关系。
• 利用测度集中性与矩界，证明当 $k = \operatorname{poly}(n)$ 时，$k$-设计满足与 Haar 测度相似的大偏差界限。
• 基于 Pauli 共轭与距离最小化，开发一种递归学习算法，其误差界通过 $\ell^2$-范数集中性推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机量子线路能否高效生成 $k = O(n / \log n)$ 的 $k$-设计，其收敛速度如何？
• RQ2 当 $k = \operatorname{poly}(n)$ 时，$k$-设计在多大程度上继承了 Haar 测度的集中性与大偏差性质？
• RQ3 $k$-设计能否用于去随机化量子协议，如解耦、态制备与基于测量的量子计算？
• RQ4 学习或测试一个未知 Clifford 操作所需的最少查询次数是多少？
• RQ5 如何将酉算符距离度量与 Pauli 共轭距离关联，以实现高效的学习与测试？

主要发现

• 深度为 $O(n^2)$ 的随机量子线路可快速收敛至 2-设计，从而实现量子算法的高效去随机化。
• 通过具有有界混合时间的量子张量积展开器，实现了 $k = O(n / \log n)$ 的高效酉 $k$-设计构造。
• 当 $k = \operatorname{poly}(n)$ 时，$k$-设计满足与 Haar 测度相同的偏差界限，从而可实现依赖于测度集中性的协议的去随机化。
• 证明了 $k$-设计的熵在 Haar 值附近集中，偏差被限制在 $O(1/k)$ 内，表明当 $k$ 较大时熵接近最大值。
• 学习未知 Clifford 操作的最优算法仅需 $O(n^2)$ 次查询，与信息论下界一致。
• 一种 Clifford 测试算法可利用 $O(n^2)$ 次查询与 $k$-设计技术，以高置信度区分未知酉算符是否接近 Clifford 操作或远离所有 Clifford 操作。