[論文レビュー] Quadratic color Hom-Lie algebras

Faouzi Ammar, Imen Ayadi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 42被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、不変で非退化かつε対称な双線形形式を備えた、階数付きホム・リー代数としての2次色付きホム・リー代数を導入し、それらを考察する。2次リー代数からの二重拡張およびT*-拡張の構成を、色付きホム・リー代数の文脈へ一般化し、中心拡張のコホモロジー的特徴づけを確立するとともに、ファルクナーの構成をホム・ライブニッツ代数の枠組みを用いて一般化することで、このような代数が生成されることを示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study quadratic color Hom-Lie algebras. We present some constructions of quadratic color Hom-Lie algebras which we use to provide several examples. We describe $T^\ast$-extensions and central extensions of color Hom-Lie algebras and establish some cohomological characterizations.

研究の動機と目的

• 2次リー代数およびホム・リー代数の一般化として、2次色付きホム・リー代数を定義し、それらを研究すること。
• 二重拡張およびT*-拡張の理論を、色付きホム・リー代数の文脈へ拡張すること。
• 色付きホム・リー代数の文脈において中心拡張のコホモロジー的特徴づけを提供すること。
• 双関数および不変形式を用いて、階数付きで色付きの設定へ2次ホム・リー代数の構成を一般化すること。
• 色付きホム・ライブニッツ代数が、2次色付きホム・リー代数からファルクナーの構成を用いて構成可能であることを示すこと。

提案手法

• Γ-順序付きホム代数としての2次色付きホム・リー代数を、ε対称的で不変的かつ非退化な双線形形式を備えるものとして定義する。
• 表現と適合条件を満たす導分写像Dを用いて、色付きホム・リー代数へのT*-拡張の概念を一般化する。
• ホム代数の文脈に適合したコホモロジー理論を導入し、中心拡張を制御するための2次コサイクル条件（βのねじれ写像を含む）を用いる。
• 全単射D写像を用いて、M⊗M* 上にホム・ライブニッツ代数の構造を定義し、括弧演算とねじれ写像をρおよびβを用いて定義する。
• 双線形形式 B(m⊗f, m'⊗f') = B_g(D(m⊗f), D(m'⊗f')) がβ⊗β̃に関して不変的かつε対称的であることを確立する。
• ファルクナーの構成を用いて、2次色付きホム・リー代数から色付きホム・ライブニッツ代数を生成し、ε対称性および双関数の恒等式を用いてジャコビ型恒等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次リー代数の概念を、色付きホム・リー代数の文脈へどのように一般化できるか？
• RQ2 色付きホム・リー代数の文脈において、T*-拡張および中心拡張の適切な類似物は何か？
• RQ3 コホモロジー的道具は、どのようにして色付きホム・リー代数の中心拡張を分類するために適合されるか？
• RQ4 ホム・ライブニッツ代数が色付きホム・リー代数から導かれる場合、どのような条件下でそれが2次的になるか？
• RQ5 ファルクナーの構成は、2次色付きホム・リー代数から2次色付きホム・ライブニッツ代数を生成するために拡張可能か？

主な発見

• 色付きホム・リー代数の圏は自己弱準同型に関して閉じており、2次色付きホム・リー代数の部分圏は自己対称自己同型に関して閉じている。
• 色付きホム・リー代数のT*-拡張は、表現ρとε対称性およびねじれβと適合する導分写像Dを用いて構成される。
• 色付きホム・リー代数の中心拡張は、ホム代数の文脈に適合したコホモロジー理論における2次コサイクル条件によって制御される。
• D写像が全単射であるとき、ホム・ライブニッツ代数 (M⊗M*, [,], β⊗β̃) は2次的であり、不変双線形形式は B_g(D(x), D(y)) を用いて定義される。
• M⊗M* 上の括弧演算は、ε対称性および双関数の恒等式を介してホム・ジャコビ恒等式を満たし、構成の代数的整合性を保証する。
• 構成されたホム・ライブニッツ代数は、元の色付きホム・リー代数の2次的構造を引き継ぎ、古典的およびホム・リーの場合の既知の結果を一般化する。