[论文解读] Quantum Addition Circuits and Unbounded Fan-Out

Yasuhiro Takahashi, Seiichiro Tani+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文提出了一种优化的 $O(n)$-深度、$O(n)$-大小的量子加法电路，无需辅助量子比特，实现最小大小 $7n-6$。此外，提出了一种广义方法，通过使用 $O(n/d(n))$ 个辅助量子比特，为任意 $d(n) = \Omega(\log n)$ 构造子对数深度电路；并利用长度为 $O(n^\varepsilon)$ 的无界扇出门，实现 $O(\log^* n)$-深度和 $o(n)$ 个辅助量子比特。该构造使 Shor 算法的离散对数实现更加高效。

ABSTRACT

We first show how to construct an O(n)-depth O(n)-size quantum circuit for addition of two n-bit binary numbers with no ancillary qubits. The exact size is 7n-6, which is smaller than that of any other quantum circuit ever constructed for addition with no ancillary qubits. Using the circuit, we then propose a method for constructing an O(d(n))-depth O(n)-size quantum circuit for addition with O(n/d(n)) ancillary qubits for any d(n)=Ω(log n). If we are allowed to use unbounded fan-out gates with length O(n^c) for an arbitrary small positive constant c, we can modify the method and construct an O(e(n))-depth O(n)-size circuit with o(n) ancillary qubits for any e(n)=Ω(log* n). In particular, these methods yield efficient circuits with depth O(log n) and with depth O(log* n), respectively. We apply our circuits to constructing efficient quantum circuits for Shor's discrete logarithm algorithm.

研究动机与目标

• 设计一种量子加法电路，实现最小大小和深度，且不使用辅助量子比特，优于现有设计。
• 将构造方法推广，实现可调深度 $O(d(n))$，使用 $O(n/d(n))$ 个辅助量子比特，适用于任意 $d(n) = \Omega(\log n)$。
• 探索使用长度为 $O(n^\varepsilon)$ 的无界扇出门，实现 $O\left(\log^* n\right)$-深度电路，且辅助量子比特数量为 $o(n)$。
• 将改进的加法器电路应用于 Shor 算法的离散对数实现，以降低资源开销。

提出的方法

• 采用无辅助量子比特的进位传递方法，构建大小为 $7n-6$、深度为 $O(n)$ 的量子加法器，针对线性最近邻架构进行优化。
• 将进位传递加法器与进位前瞻逻辑结合，为任意 $d(n) = \Omega(\log n)$ 构造出深度为 $O(d(n))$、使用 $O(n/d(n))$ 个辅助量子比特的 $O(n)$-大小加法器。
• 提出 Chandra 等人常数深度经典电路在加法中的量子版本，利用长度为 $O(n^\varepsilon)$ 的无界扇出门以降低深度。
• 采用 Høyer 等人关于广义 Toffoli 操作的小深度量子电路作为基于无界扇出的进位前瞻计算的构建模块。
• 将新加法器电路用于替换 Proos 等人 Shor 算法实现中 $O(n)$-深度、$O(n)$-大小的 ADD$_n$ 电路，减少辅助量子比特的使用。
• 证明当 $e(n) = \Omega(\log^* n)$ 时，修改后的 Shor 算法电路实现 $O(n^2 e(n))$-深度和 $O(n^3)$-大小，且仅需 $4n + o(n)$ 个量子比特。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出深度为 $O(n)$、大小为 $7n-6$ 且不使用辅助量子比特的量子加法电路？
• RQ2 能否在保持大小为 $O(n)$ 的同时，将量子加法器的深度降低至 $O(d(n))$，且仅使用 $O(n/d(n))$ 个辅助量子比特，其中 $d(n) = \Omega(\log n)$？
• RQ3 长度为 $O(n^\varepsilon)$ 的无界扇出门能否实现 $O(\left(\log^* n\right))$-深度加法器电路，且辅助量子比特数量为 $o(n)$？
• RQ4 新加法器电路在多大程度上能减少 Shor 算法离散对数实现中的量子比特和深度开销？

主要发现

• 所提出的 $O(n)$-深度、$O(n)$-大小加法器大小恰好为 $7n-6$，小于任何先前构造的无辅助量子比特加法器。
• 对于任意 $d(n) = \Omega(\log n)$，该方法可构造出深度为 $O(d(n))$、大小为 $O(n)$、使用 $O(n/d(n))$ 个辅助量子比特的加法器，其大小小于 Takahashi 等人先前构造在 $d(n) = \log n$ 时的一半。
• 当使用长度为 $O(n^\varepsilon)$ 的无界扇出门（任意 $\varepsilon > 0$）时，该方法可构造出深度为 $O(\left(\log^* n\right))$、大小为 $O(n)$、使用 $o(n)$ 个辅助量子比特的加法器。
• 修改后的加法器将 Shor 算法离散对数实现中辅助量子比特数量从 $5n$ 减少至 $4n + o(n)$，同时保持渐近相同的深度和大小。
• 该构造表明，长度为 $O(\log n)$ 的无界扇出门足以实现深度为 $O(\left(\log n / \log \log n\right))$ 的电路，且辅助量子比特数量为 $o(n)$。
• 新加法器电路使 Shor 算法的离散对数实现更加高效，当 $e(n) = \Omega(\left(\log^* n\right))$ 时，实现 $O(n^2 e(n))$-深度和 $O(n^3)$-大小。