[論文レビュー] Quantum algorithms for grid-based variational time evolution

Pauline J. Ollitrault, Sven Jandura+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 48被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1次量子化グリッド符号化における量子ダイナミクスのシミュレーションのための変分量子アルゴリズムを提案する。位置および運動量基底測定を活用することで、回路の深さと測定のオーバーヘッドを低減する。変分時間発展演算子の安定化のための部分空間対角化を導入し、1次元および2次元系において、パrameter数を顕著に削減し、忠実度を向上させる。

ABSTRACT

The simulation of quantum dynamics calls for quantum algorithms working in first quantized grid encodings. Here, we propose a variational quantum algorithm for performing quantum dynamics in first quantization. In addition to the usual reduction in circuit depth conferred by variational approaches, this algorithm also enjoys several advantages compared to previously proposed ones. For instance, variational approaches suffer from the need for a large number of measurements. However, the grid encoding of first quantized Hamiltonians only requires measuring in position and momentum bases, irrespective of the system size. Their combination with variational approaches is therefore particularly attractive. Moreover, heuristic variational forms can be employed to overcome the limitation of the hard decomposition of Trotterized first quantized Hamiltonians into quantum gates. We apply this quantum algorithm to the dynamics of several systems in one and two dimensions. Our simulations exhibit the previously observed numerical instabilities of variational time propagation approaches. We show how they can be significantly attenuated through subspace diagonalization at a cost of an additional $\mathcal{O}(MN^2)$ 2-qubit gates where $M$ is the number of dimensions and $N^M$ is the total number of grid points.

研究の動機と目的

• 1次量子化におけるTrotter化時間発展演算を用いた量子ダイナミクスのシミュレーションにおいて、深すぎる量子回路の課題に対処する。
• 位置および運動量基底測定のみを必要とするグリッドベースのハミルトニアン符号化を活用することで、変分量子アルゴリズムの典型的な高い測定オーバーヘッドを克服する。
• 局所的対角化スキームを用いて、数値的不安定性に苦しむ変分時間発展演算を安定化する。
• 基底ハミルトニアンの固有状態を用いて動的に関連する部分空間にダイナミクスを射影することで、変分パrameterの数を削減する。
• 一般のポテンシャル（多項式でないものやクーロン相互作用を含む）を持つ系に対しても、近位量子ハードウェア上で効率的な量子ダイナミクスのシミュレーションを可能にする。

提案手法

• 空間グリッド上にハミルトニアンを符号化することで、1次量子化における変分量子アルゴリズムを用いた時間発展演算を定式化する。
• パラメータ化された量子回路を用いた変分アーンサツにより、時間発展演算状態を準備し、時間順序エネルギーの期待値を最小化する。
• 古典的対角化により得られるユニタリ変換 D を用い、変分状態を、全ハミルトニアンを部分的に対角化する基底に写像する。
• Qiskit を用いて等長変換分解により D を実装し、効率的な量子回路実装を可能にする。
• 切断しきい値を導入して部分的対角化を実行し、非ゼロ行列要素を削減して計算コストを低減しつつ、精度を保持する。
• 再スケーリングを施した最小二乗フィッティングを用いて最適化プロセスを安定化させ、パrameter更新における数値誤差を低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分量子アルゴリズムが、量子ダイナミクスにおけるグリッドベースの1次量子化時間発展演算に対して安定的かつ効率的に行えるか。
• RQ2 グリッド上での量子系のシミュレーションにおいて、変分アルゴリズムの測定オーバーヘッドをどのように最小化できるか。
• RQ3 部分空間対角化によって、シミュレーション忠実度を保持したまま、変分パrameterの数をどの程度削減できるか。
• RQ4 係数の切断を用いた部分的対角化が、変分時間発展演算の精度および安定性に与える影響は何か。
• RQ5 この手法は、クーロン相互作用や非線形相互作用を含むような複雑な非多項式ポテンシャルを持つ系へ一般化可能か。

主な発見

• 提案された変分量子アルゴリズムは、6キュービットを用いて調和振動子およびエーカート障壁系の両方において、長時間にわたり高い状態忠実度（1に近い）を達成する。
• 部分空間対角化により、基底ハミルトニアンの関連固有状態が張る低次元不変部分空間にダイナミクスを射影することで、有効な変分パrameter数が削減される。
• 0.1および1.0の切断しきい値を用いた部分的対角化は、高い忠実度を維持しており、非ゼロ行列要素密度がそれぞれ0.27および0.14であるため、切断に対して頑健であることが示された。
• 問題を滑らかな最適化ランドスケープに変換することで、元来数値的に不安定な変分時間発展演算が安定化される。
• 測定を位置および運動量基底に制限することで、系のサイズに依存せず、回路の深さと測定コストが低減される。
• この手法はスケーラブルであり、電子フォノン系、非線形ダイナミクス、グリッド上に離散化された量子場理論など、より広範な問題クラスへ応用可能である。