[論文レビュー] Simulations of Many-Body Quantum Systems by a Quantum Computer

Stephen Wiesner|ArXiv.org|Mar 26, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 128

ひとこと要約

この論文は、量子もつれを活用して複雑な量子状態を表現することで、量子コンピュータが量子多体系（原子や分子など）を効率的にシミュレートできることを提案している。古典的コンピュータとは異なり、指数関数的なリソーススケーリングに直面するが、ハミルトニアン分解を介してユニタリー時間発展ステップを適用することにより、量子アプローチは多項式時間シミュレーションを達成し、正確でスケーラブルな量子ダイナミクスのシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

We suggest that quantum computers can solve quantum many-body problems that are impracticable to solve on a classical computer.

研究の動機と目的

• 古典的コンピュータでは困難な量子多体系を、量子コンピュータが効率的にシミュレートできることを示すこと。
• 古典的シミュレーションの根本的制限、すなわち、$2^N$次元のヒルベルト空間を追跡する必要があるが、系のサイズに伴い指数関数的に増大すること。
• キュービットを用いた状態表現と時間発展演算子を用いて、1体および2体ハミルトニアンに従う系をシミュレートする実用的な量子アルゴリズムを提案すること。
• シミュレーション時間のスケーリングが系のサイズに対して多項式的になること、古典的指数的スケーリングと対照的であること。

提案手法

• 系内の各量子粒子を $k$ 個のキュービットで表現し、空間波動関数を $2^k$ 個の位置ビンに離散化する。
• 各ハミルトニアン項（1体および2体）に対して、小さな時間ステップ $\Delta t$ を用いて、時間発展演算子 $I + iH\Delta t/\hbar$ を逐次適用する。
• 位置空間と運動量空間の間を切り替えるために、キュービットレジスタに高速フーリエ変換（FFTs）を適用し、$P^2/2m$ 項の効率的時間発展を実現する。
• 位置依存ポテンシャル項 $V_{ij}$ を、現在のキュービット状態から計算し、$\Delta t V_{ij}/\hbar$ 比例の位相シフトを適用する。
• 時間 $T$ のダイナミクスをシミュレートするために、全時間発展演算子のシーケンスを $T/\Delta t$ 回繰り返し、最終状態を測定して物理量を抽出する。
• 量子重ね合わせともつれを活用して、全振幅ベクトルを明示的に保存することなく、多体波動関数を自然に表現・発展させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子コンピュータは、古典的コンピュータよりも、量子多体系をより効率的にシミュレートできるか？
• RQ2 1体および2体相互作用を有する $N$ 個の粒子系の時間発展演算の計算複雑度は何か？
• RQ3 量子コンピュータ上でキュービットレジスタを用いて、相互作用粒子のシュレーディンガー方程式をどのように効率的に実装できるか？
• RQ4 多体系の指数的ヒルベルト空間を、量子アルゴリズムを用いて多項式時間でシミュレートできるか？
• RQ5 もつれは、量子コンピュータ上で量子ダイナミクスを効率的にシミュレートするために果たす役割は何か？

主な発見

• 1体および2体ハミルトニアンに従う $N$ 個の2準位系のシミュレーションは、$N$ に対して多項式的時間で実行可能であり、古典的指数的スケーリングを回避する。
• 1次元に配置された $N$ 個の粒子に $k$ 個のキュービットを各粒子に割り当てた場合、全シミュレーション時間は $N$ および $k$ に対して多項式的スケーリングとなり、特に1ステップあたり $O(Nk \log k)$ となる。
• FFTsの使用により、運動量空間における時間発展が効率的になり、運動エネルギー項のコストが1粒子あたり $O(2^k)$ から $O(k \log k)$ に削減される。
• この手法は、位置状態の重ね合わせを自然に扱い、もつれ状態に基づいた位相シフトを適用することで、量子コherーを保持する。
• 測定結果は、シミュレーションを繰り返し平均化することで得られ、物理量の期待値が正確に得られる。
• 全 $2^{Nk}$ 次元の振幅ベクトルを保存する必要がなく、これは古典的コンピュータでは実行不可能である。