[論文レビュー] Regularity of Einstein Manifolds and the Codimension 4 Conjecture

Jeff Cheeger, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有界リッチ曲率と非崩壊性を満たすリーマン多様体の非崩壊なグロモフ＝ホフスキー極限における特異集合のハウスドルフ次元が高々 $ n-4 $ であることを証明することで、codimension 4 予想を解決する。著者らは、定量的ストラティフィケーションと新たな $ C^2 $-正則性推定、$ C^1 $-微分同相写像制御を組み合わせ、すべての $ q<2 $ に対して曲率の事前 $ L^q $-境界を確立する。次に、次元 4 において、有界リッチ曲率と体積非崩壊性のもとで $ L^2 $-曲率推定と有限微分同相型定理を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the regularity of noncollapsed Riemannian manifolds $(M^n,g)$ with bounded Ricci curvature, as well as their Gromov-Hausdorff limit spaces $(M^n_j,d_j)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X,d)$, where $d_j$ denotes the Riemannian distance. Our main result is a solution to the codimension $4$ conjecture, namely that $X$ is smooth away from a closed subset of codimension $4$. We combine this result with the ideas of quantitative stratification to prove a priori $L^q$ estimates on the full curvature $|Rm|$ for all $q&lt;2$. In the case of Einstein manifolds, we improve this to estimates on the regularity scale. We apply this to prove a conjecture of Anderson that the collection of $4$-manifolds $(M^4,g)$ with $|Ric_{M^4}|\leq 3$, $Vol(M)&gt;v&gt;0$, and $diam(M)\leq D$ contains at most a finite number of diffeomorphism classes. A local version of this is used to show that noncollapsed $4$-manifolds with bounded Ricci curvature have a priori $L^2$ Riemannian curvature estimates.

研究の動機と目的

• 有界リッチ曲率と非崩壊性を満たすリーマン多様体の非崩壊なグロモフ＝ホフスキー極限における特異集合の codimension 4 予想を解決すること。
• このような極限において、すべての $ q<2 $ に対してリーマン曲率テンソル $ |\mathrm{Rm}| $ の事前 $ L^q $-推定を確立すること。
• 有界リッチ曲率と体積非崩壊性を満たす非崩壊な 4 次元多様体が有限微分同相型をもつことの証明。
• 有界リッチ曲率と体積非崩壊性のもとで、次元 4 における $ L^2 $-曲率推定を確立すること。
• アインシュタイン多様体の正則性理論を拡張し、正則性スケールと曲率積分可能性に関する推定を改善すること。

提案手法

• 定量的ストラティフィケーションを用いて、制御された次元と測度を持つ特異集合のストラトムに分解し、$ C^2 $-正則性スケールと $ C^1 $-微分同相写像制御を活用する。
• 正則性スケールの等高面のサイズを制御できるスライシング定理を証明し、特異集合上の測度推定を可能にする。
• $ C^1 $-微分同相写像制御を用いて、アニュラス上に $ C^1 $-ノルムが小さい調和座標を構成し、境界の均一な制御を保証する。
• 次元 4 におけるシャン＝ガウス＝ボンネの公式を適用し、$ \int_U |\mathrm{Rm}|^2 $ をオイラー特性と第二基本形式の境界で評価する。
• $ C^1 $-微分同相写像制御を体積単調性と二重化推定と組み合わせ、半径が制御された球の有限被覆を構成する。
• $ C^1 $-微分同相写像制御を用いて、制御された領域上の積分と位相的不変量を介して $ L^2 $-曲率推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界リッチ曲率を満たす多様体の非崩壊なグロモフ＝ホフスキー極限における特異集合の codimension は 4 以上であるか？
• RQ2 有界リッチ曲率と体積非崩壊性のもとで、すべての $ q<2 $ に対してリーマン曲率テンソル $ |\mathrm{Rm}| $ の事前 $ L^q $-境界を確立できるか？
• RQ3 次元 4 において、有界リッチ曲率と体積非崩壊性を満たす非崩壊多様体は、多様体に依存しない $ L^2 $-曲率推定を有するか？
• RQ4 有界リッチ曲率、体積、直径を満たす 4 次元多様体の集合は、微分同相型の意味で有限個に限られるか？
• RQ5 次元 4 において、曲率と体積非崩壊性の観点から正則性スケールを一様に制御できるか？

主な発見

• 任意の $ |\mathrm{Ric}| \leq n-1 $ かつ $ \mathrm{Vol}(B_1) > \mathrm{v} > 0 $ を満たす多様体の非崩壊なグロモフ＝ホフスキー極限における特異集合 $ \mathcal{S} $ のハウスドルフ次元は高々 $ n-4 $ であり、codimension 4 予想が解決される。
• すべての $ q<2 $ に対して、リーマン曲率テンソルの $ L^q $-ノルムは、$ \fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^q \leq C(n,\mathrm{v}) $ を満たし、すべてのこのような多様体に一様に成り立つ。
• 次元 4 において、曲率テンソルの $ L^2 $-ノルムは一様に有界である：$ \fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^2 \leq C(\mathrm{v}) $。
• 有界リッチ曲率 $ |\mathrm{Ric}| \leq 3 $、体積 $ \mathrm{Vol}(M) > \mathrm{v} > 0 $、直径 $ \mathrm{diam}(M) \leq D $ を満たす 4 次元多様体の集合には、微分同相型として有限個の型しか含まれない。
• 非崩壊な 4 次元多様体が有界リッチ曲率と体積非崩壊性を満たすとき、半径が制御された二重指数的範囲にあるアニュラス上で $ C^1 $-微分同相写像制御が可能である。
• このような 4 次元多様体の極限空間は、高々 $ c(\mathrm{v}) $ 個の特異点を持つリーマン多様体の軌道空間であり、ユークリッド体積成長を満たす完全なリッチ平坦 4 次元多様体は ALE 空間である。