[論文レビュー] Regularity of plurisubharmonic upper envelopes in big cohomology classes

Robert J. Berman, Jean-Pierre Demailly|ArXiv.org|May 8, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Fujikiクラス 𝒞 に属するコンpact複素多様体上のビッグコhomology類における擬・シュバルツ上界関数の正則性を確立する。パラメータ化されたLegendre-Kiselman変換とOhsawa-Takegoshi型 $L^2$ 拡張を用いて、特異的解析的集合を除く領域で上界関数の複素ヘッシアンが局所的に有界であることを証明し、基準関数の解析的特異性に基づく指数的および多項式的境界を用いて、特異点近傍における発散レートを明確に制御する。

ABSTRACT

The goal of this work is to prove the regularity of certain quasi-plurisubharmonic upper envelopes. Such envelopes appear in a natural way in the construction of hermitian metrics with minimal singularities on a big line bundle over a compact complex manifold. We prove that the complex Hessian forms of these envelopes are locally bounded outside an analytic set of singularities. It is furthermore shown that a parametrized version of this result yields a priori inequalities for the solution of the Dirichlet problem for a degenerate Monge-Ampere operator; applications to geodesics in the space of Kahler metrics are discussed. A similar technique provides a logarithmic modulus of continuity for Tsuji's "supercanonical" metrics, which generalize a well-known construction of Narasimhan-Simha.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上のビッグコhomology類における擬・シュバルツ上界関数の正則性を確立すること。
• 上界関数の特異点を解析し、特異的集合近傍におけるその複素ヘッシアンの発散レートを明確に特定すること。
• 特に非代数的状況下において、ビッグライン bundle 上の最小特異性を持つ計量への理論の拡張。
• パラメータ化された上界関数構成を用いて、退化したMonge-Ampère Dirichlet問題の解に対する事前推定を導出すること。
• Tsujiの超標準計量を一般化し、その特異性に対して対数的連続性モジュラスを証明すること。

提案手法

• ビッグコhomology類 $\{\alpha\}$ に対して、上界関数 $\varphi = \sup\{\psi \geq 0 \mid \psi \text{ は } \alpha\text{-psh}\}$ を構成する。
• 特異性が解析的な基準関数 $\psi_0$ を用い、$T_0 = \alpha + dd^c\psi_0 \geq \varepsilon_0 \omega$ となるように選ぶ。
• パrameter $m$ でパラメータ化された $\alpha$-psh 関数の族にLegendre-Kiselman変換を適用し、代数的近似 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ を得る。
• $X \setminus Z_0$ 上で $\varphi^\mathrm{alg}_m$ が正規化された上界関数 $\varphi_\mathrm{can}$ に一様収束することを確立する。ここで $Z_0 = \psi_0^{-1}(-\infty)$ である。
• $L^2$ 拡張定理（Ohsawa-Takegoshi）を用いて、切断の成長を制御し、ヘッシアンに対する $L^p$ 界を導出する。
• $|dd^c\varphi|_\omega \leq C(|\psi_0|+1)^2 e^{B|\psi_0|}$ の界を導出し、$Z_0$ 近傍における2階微分の発散を定量的に特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体上のビッグコhomology類における擬・シュバルツ上界関数の正確な正則性は何か？
• RQ2 特異的集合 $Z_0 = \psi_0^{-1}(-\infty)$ 近傍における上界関数の複素ヘッシアン微分はどのように振る舞うか？
• RQ3 ビッグライン bundle 上の最小特異性計量が、特異的解析的集合を除く領域で制御された2階正則性を示せるか？
• RQ4 パラメータ化された上界関数を用いて、退化したMonge-Ampère Dirichlet問題の解に対する事前推定をどのように導出できるか？
• RQ5 Tsujiの超標準計量は対数的連続性モジュラスを有するか？また、正規化された上界関数とはどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $\delta > 0$ に対して、$X \setminus Z_0$ 上で上界関数 $\varphi = \sup\{\psi \geq 0 \mid \psi \text{ は } \alpha\text{-psh}\}$ は $C^{1,1-\delta}$ である。
• $X \setminus Z_0$ 上で複素ヘッシアン $dd^c\varphi$ は局所的に有界であり、$|dd^c\varphi|_\omega \leq C(|\psi_0|+1)^2 e^{B|\psi_0|}$ なる界が、ある $C, B > 0$ を用いて成り立つ。
• $X \setminus Z_0$ 上で2階微分 $D^2\varphi$ は任意の $p > 0$ に対して $L^p_{\rm loc}$ に属する。
• $\varphi_\mathrm{can}$ は $X \setminus Z_0$ 上で連続であり、代数的近似 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ の列は $X \setminus Z_0$ のコンパクト部分集合上で $\varphi_\mathrm{can}$ に一様収束する。
• ビッグライン bundle 上の正規化計量 $h_{\min} = h_L e^{-\varphi}$ に対して、$\varphi$ の $Z_0$ を除く領域での正則性は、基準計量 $h_0 = h_L e^{-\psi_0}$ の特異性によって制御される。
• 結果は $L^p$-制約付き上界関数へ拡張され、Tsujiの超標準計量に対して対数的連続性モジュラスが得られ、Narasimhan-Simhaの構成を一般化する。