[論文レビュー] Remarks on special kinds of the relative log minimal model program

Kenta Hashizume|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、相対的対数最小モデルプログラム（MMP）における鍵となる結果の $\mathbb{R}$-除法的バージョンを確立し、特定の数値的および幾何的条件下で $\mathbb{R}$-境界除法を持つ対数 canonical 組 $(X,B)$ が良い最小モデルを有することを証明する。$\mathbb{R}$-除法的対数 canonical 環の有限生成性の欠如を克服するため、弱い半安定化還元と canonical バンドル公式を用い、$\mathbb{Q}$-除法的状況からの結果を $\mathbb{R}$-除法的状況へ一般化可能であることを可能にする。

ABSTRACT

We prove $\mathbb{R}$-boundary divisor versions of results proved by Birkar or Hacon-Xu on special kinds of the relative log minimal model program.

研究の動機と目的

• 既知の $\mathbb{Q}$-除法的対の相対的対数 MMP における良い最小モデルの存在に関する結果を、$\mathbb{R}$-除法的対へ拡張すること。
• $\mathbb{R}$-除法的状況における対数 canonical 環の有限生成性の欠如により、$\mathbb{Q}$-除法的状況で用いられる標準的手法が阻害されることを克服すること。
• $K_X + B + A \sim_{\mathbb{R},Z} 0$ かつ $K_X + B$ が $Z$ 上で擬効果的であるとき、$B$ と $A$ が $\mathbb{R}$-除法的であっても、$Z$ 上で対数 canonical 組 $(X,B)$ が良い最小モデルを有することを確立すること。
• 有界な数値次元または大きさの仮定の下で、存在の証明、lc フリップ、lc クロージャー、良い最小モデルなどの結果を $\mathbb{R}$-除法的状況へ一般化すること。

提案手法

• Abramovich と Karu の弱い半安定化還元定理を用いて、$K_X + \Delta$ の相対的数値次元が 0 であるファイバー空間を分析する。
• Ambro の対数 canonical 組の canonical バンドル公式を適用し、すべての lc センタが底に押し出されるファイバー空間における帰納的議論に問題を還元する。
• 多様体のコンパact化を用いて仮定を保持し、[FG2] の相対豊富性定理を適用することで、対数 canonical 環の有限生成性の必要性を回避する。
• 有理数型多面体を用いて $B$ と $A$ を $\mathbb{Q}$-除法的対の有理数凸結合として表現し、[FG2] の半正則性結果の適用を可能にする。
• 相対豊富性定理（dlt 対の点上の相対豊富性、すなわち $Z = \operatorname{Spec} \mathbb{C}$）を適用し、$K_X + B$ が $Z$ 上で半正則であることを結論づける。
• $K_X + B$ が $Z$ 上で nef かつ対数豊富的であり、$X$ と $Z$ が射影的であることから、[FG2, Theorem 4.12] を用いて半正則性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的対数 MMP における良い最小モデルの存在は、$\mathbb{Q}$-除法的対から $\mathbb{R}$-除法的対へ拡張可能か？
• RQ2 対数 canonical 環の有限生成性が欠如する $\mathbb{R}$-除法的対数 canonical 組に対して、豊富性定理をどのように証明できるか？
• RQ3 canonical バンドル公式と弱い半安定化還元を用いて、$\mathbb{R}$-除法的状況における終了性および最小モデルの存在を確立できるか？
• RQ4 有限生成性に依存せずに、lc フリップや lc クロージャーの存在を $\mathbb{R}$-除法的状況へ一般化できるか？
• RQ5 $\mathbb{R}$-境界除法を持つ対数 canonical 組が良い最小モデルまたは Mori ファイバー空間を有するための条件は何か？

主な発見

• 定理 1.1 は、$\pi: X \to Z$ を正規の準射影的多様体間の射影的準同型とし、$(X, B + A)$ が $B \geq 0$ を $\mathbb{R}$-除法的、$A \geq 0$ を $\mathbb{R}$-Cartier 除法的とする対数 canonical 組であり、$K_X + B + A \sim_{\mathbb{R}, Z} 0$ かつ $K_X + B$ が $Z$ 上で擬効果的であるとき、$(X, B)$ は $Z$ 上で良い最小モデルを有することを確立する。
• 定理 1.2 は、$\pi: X \to Z$ が射影的準同型であり、$(X, \Delta)$ が $\mathbb{R}$-境界除法 $\Delta$ を持つ対数 canonical 組であるとき、$Z$ の開部分集合 $U \subset Z$ が存在し、$(\pi^{-1}(U), \Delta|_{\pi^{-1}(U)})$ が $U$ 上で良い最小モデルを有し、$(X, \Delta)$ のすべての lc センタが $\pi^{-1}(U)$ と交わるならば、$(X, \Delta)$ は $Z$ 上で良い最小モデルを有することを証明する。
• 系 1.3 は、底の開部分集合上での対数 canonical 組の lc クロージャーの存在を示し、$\mathbb{Q}$-除法的状況からの結果を一般化する。
• 定理 1.4 は、相対的ピカール数が 1 である必要がないことさえ、$\mathbb{R}$-境界除法に対する対数 canonical フリップの存在を確立する。
• 定理 1.5 は、有界な数値次元または大きさの仮定の下で、良い最小モデルまたは Mori ファイバー空間の存在が $\mathbb{R}$-除法的状況へ一般化されることを示す。
• 系 1.6 は、射影的対数 canonical 組 $(X, \Delta)$ で $K_X + \Delta$ が豊富的であり、$0 \leq \nu(X, K_X + \Delta) \leq 4$ であるとき、良い最小モデルを有することを証明し、$\mathbb{Q}$-除法的状況からの結果を拡張する。