[論文レビュー] Remarks on the classical capacity of quantum channel

A. S. Holevo|ArXiv.org|Dec 4, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、qubit系に限らないより広いクラスの非可約共変量子チャネルに対して、1回の送信における古典的容量が log d から最小出力エントロピーを引いた値に等しいことを直接的に証明する。また、エントロピーの凹性とユニタリ拡張の構造を用いて、エンタングルメント支援付き古典的容量の不等式についても簡潔な証明を与える。

ABSTRACT

A direct proof of the relation between the one-shot classical capacity and the minimal output entropy for covariant quantum channels is suggested. The structure of covariant channels is described in some detail. A simple proof of a general inequality for entanglement-assisted classical capacity is given.

研究の動機と目的

• qubit系にとどまらない、より一般の系における共変量子チャネルの1回の送信における古典的容量の公式を、直接的かつ一般的に証明すること。
• 古典的容量が log d から最小出力エントロピーを引いた値に等しくなる構造的条件を明確にすること。
• 量子エントロピーの凹性を用いて、エンタングルメント支援付き古典的容量の不等式を簡略化した証明を与えること。
• 正定値関数とユニタリ拡張を用いて、Weyl共変チャネルを特徴づけ、それらをユニタリ操作の混合に結びつけること。

提案手法

• 群の共変性とユニタリ表現の非可約性を用いて、共変チャネルが双確率的であり、容量公式を満たすことを示す。
• 有限群の直交関係と連続的な一様測度を用いて、容量の上限に達する最適な入力集合を構成する。
• 群の作用に従って変換するテンソル演算子を用いて、共変チャネルの Lindblad 表現を適用する。
• 群 G = H ⊕ Ĥ 上の正定値関数を用いて、Weyl共変チャネルの特徴づけを導出し、それらを確率変数の特性関数に結びつける。
• エントロピー交換不等式 H(S,Φ) ≥ ∑p_j H(Φ[S_j]) を用いて、フォン・ノイマンエントロピーの凹性によりエンタングルメント支援付き容量の上限を証明する。
• ランダムユニタリ変換 W_{Jζ}^* X W_{Jζ} を用いてチャネルのユニタリ拡張を構成し、Weyl共変チャネルがユニタリ操作の混合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、量子チャネルの1回の送信における古典的容量が log d から最小出力エントロピーを引いた値に等しくなるか？
• RQ2 特に非可約表現を伴う群の共変性は、qubit系に限らない系においても容量公式の正当性をどのように保証するか？
• RQ3 正定値関数は、Weyl共変チャネルを特徴づける際に果たす役割は何か？
• RQ4 エントロピーの凹性を用いて、エンタングルメント支援付き古典的容量の不等式をより直接的に証明できるか？
• RQ5 どの共変チャネルがユニタリ操作の混合として表現可能であり、その構造的性質とは何か？

主な発見

• 任意の非可約ユニタリ表現を伴う共変量子チャネルについて、1回の送信における古典的容量は log d − min_S H(Φ(S)) に等しい。
• 証明は直接的かつ一般的であり、qubit系や双確率的系に限らず、有限次元のすべての共変チャネルに適用可能である。
• Weyl共変チャネルは Φ[W_z] = φ(z)W_z と表され、φ(z) は群 G = H ⊕ Ĥ 上の正定値関数である。
• このようなチャネルは、S ↦ W_{Jζ}^* S W_{Jζ} というランダムユニタリ変換への拡張を許容し、ユニタリ操作の混合であることが示される。
• エンタングルメント支援付き古典的容量は C_ea(Φ) ≤ log d + C^{(1)}(Φ) を満たし、エントロピーの凹性とエントロピー交換不等式を用いて証明される。
• すべての双確率的チャネルがユニタリ操作の混合であるとは限らない—例えば d > 2 のとき、Φ[S] = (I − S^T)/(d−1) は共変ではあるが、ユニタリ操作の混合ではない。