[论文解读] Scheduling Under Non-Uniform Job and Machine Delays

Rajmohan Rajaraman, David Stalfa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2022

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 1

一句话总结

本文首次提出了针对具有非均匀通信延迟（包括任务和机器延迟）的异构机器上具有优先约束的任务调度的多对数时间近似算法。该研究引入了具有渐近和真正多对数时间近似比的新颖调度算法，并通过从唯一机器优先约束调度问题（Unique Machines Precedence-constrained Scheduling）的规约建立了下界结果，标志着在理解非均匀延迟调度模型方面迈出了基础性一步。

ABSTRACT

We study the problem of scheduling precedence-constrained jobs on heterogenous machines in the presence of non-uniform job and machine communication delays. We are given as input $n$ unit size precedence-ordered jobs and $m$ related machines such that machine $i$ can execute up to $m_i$ jobs at a time. Each machine $i$ has an in-delay $ρ^{\mathrm{in}}_i$ and out-delay $ρ^{\mathrm{out}}_i$. Likewise, each job $v$ has an in-delay $ρ^{\mathrm{in}}_v$ and out-delay $ρ^{\mathrm{out}}_v$. In a schedule, job $v$ may be executed on machine $i$ at time $t$ if each predecessor $u$ of $v$ is completed on $i$ before time $t$ or on any machine $j$ before time $t - (ρ^{\mathrm{in}}_i + ρ^{\mathrm{out}}_j + ρ^{\mathrm{out}}_u + ρ^{\mathrm{in}}_v)$. The goal is to construct a schedule that minimizes makespan. We consider schedules that allow duplication of jobs as well as schedules which do not. When duplication is allowed, we provide an asymptotic $\mathrm{polylog}(n)$-approximation algorithms both when duplication is allowed and when it is not. We also obtain a true $\mathrm{polylog}(n)$-approximation for symmetric machine and job delays. These are the first polylogarithmic approximation algorithms for scheduling with non-uniform communication delays. We also consider a more general model, where the delay can be an arbitrary function of the job and the machine executing it: job $v$ can be executed on machine $i$ at time $t$ if all of $v$'s predecessors are executed on $i$ by time $t-1$ or on any machine by time $t - ρ_{v,i}$. We present an approximation-preserving reduction from the Unique Machines Precedence-constrained Scheduling (UMPS) problem, first defined in [DKRSTZ22], to this job-machine delay model. The reduction entails logarithmic hardness for this delay setting, as well as polynomial hardness if the conjectured hardness of UMPS holds.

研究动机与目标

• 为解决在非均匀通信延迟下缺乏可证明性能良好的近似算法的问题。
• 在具有优先约束的异构网络化计算环境中，对任务和机器延迟进行建模与分析。
• 设计最小化完成时间的调度算法，适用于存在和不存在任务复制的非均匀延迟场景。
• 首次建立从唯一机器优先约束调度（UMPS）问题到一般非均匀延迟模型的近似保持规约。
• 梳理并探索非均匀延迟调度问题的计算复杂性图谱。

提出的方法

• 提出一种模型：任务 v 仅当其所有前驱任务在时间 t − (ρin_i + ρout_j + ρout_u + ρin_v) 前完成时，才可在机器 i 上于时间 t 被调度，以考虑机器和任务特定的延迟。
• 提出一种基于列表调度的算法，通过在任务前驱数量达到阈值时触发调度轮次，实现跨机器的动态负载均衡。
• 采用递归调度策略，按轮次处理任务，时间步长基于通信延迟和机器容量确定。
• 应用一个关键引理，表明每轮调度的任务总数至少为总负载的一半，从而实现对轮次数的对数级上界。
• 将唯一机器优先约束调度（UMPS）问题规约为非均匀延迟模型，同时保持近似比。
• 通过归纳分析与不变式证明算法的正确性，并以 n 和问题参数的多对数因子形式界定完成时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非均匀任务和机器延迟的调度问题设计出多对数时间近似算法？
• RQ2 在非均匀延迟调度中，任务复制对近似比有何影响？
• RQ3 在非均匀延迟模型中，均匀的机器速度和大小如何影响近似质量？
• RQ4 对称延迟（ρin_i = ρout_i）是否能提供强于非对称延迟的近似保证？
• RQ5 非均匀延迟调度问题的计算困难性如何？其与已知难解问题（如UMPS）的关系是什么？

主要发现

• 当允许任务复制时，针对具有任务和机器延迟的调度问题，实现了渐近多对数(n)近似算法。
• 在均匀速度、均匀大小且无任务延迟的特殊情况下，本文在非均匀延迟模型中实现了最佳 O(polylog(n)) 近似比。
• 对于不支持复制的调度，一般模型下获得了渐近多对数(n)近似；当延迟对称时，实现了真正的多对数(n)近似。
• 通过从UMPS问题的规约，本文建立了非均匀延迟模型的对数级下界结果，表明次多项式近似可能难以实现。
• 从UMPS到一般延迟模型的规约表明，若假设UMPS问题的困难性成立，则多项式时间近似不可行。
• 所提出的算法框架确保了完成时间的上界形式为 O(polylog(αρ ¯mk¯sk) · αρ + |U|/(|⟨k⟩|·¯mk¯sk) + ρ)，其在关键参数上为多对数形式。