[论文解读] Self-Stabilizing Meeting in a Polygon by Anonymous Oblivious Robots.

Giuseppe Antonio Di Luna, Paola Flocchini+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对匿名、无记忆机器人的自稳定算法，用于在有洞或无洞的多边形中解决会面问题。证明了当多边形具有阶数为 $\sigma$ 的旋转对称性时，$k = \sigma + 1$ 个机器人足以解决问题，并针对多边形质心不在洞中的情况，提出了一种最优的 $k=2$ 解决方案，通过几何定位编码信息，无需记忆。

ABSTRACT

The \emph{Meeting problem} for $k\geq 2$ searchers in a polygon $P$ (possibly with holes) consists in making the searchers move within $P$, according to a distributed algorithm, in such a way that at least two of them eventually come to see each other, regardless of their initial positions. The polygon is initially unknown to the searchers, and its edges obstruct both movement and vision. Depending on the shape of $P$, we minimize the number of searchers $k$ for which the Meeting problem is solvable. Specifically, if $P$ has a rotational symmetry of order $\sigma$ (where $\sigma=1$ corresponds to no rotational symmetry), we prove that $k=\sigma+1$ searchers are sufficient, and the bound is tight. Furthermore, we give an improved algorithm that optimally solves the Meeting problem with $k=2$ searchers in all polygons whose barycenter is not in a hole (which includes the polygons with no holes). Our algorithms are self-stabilizing and can be implemented in a variety of standard models of mobile robots operating in Look-Compute-Move cycles. For instance, if the searchers have memory but are anonymous, asynchronous, and have no agreement on a coordinate system or a notion of clockwise direction, then our algorithms work even if the initial memory contents of the searchers are arbitrary and possibly misleading. Moreover, oblivious searchers can execute our algorithms as well, encoding information by carefully positioning themselves within the polygon. This code is computable with basic arithmetic operations, and each searcher can geometrically construct its own destination point at each cycle using only a compass. The algorithms are self-stabilizing even in such a memoryless model, in the sense that the searchers may be located anywhere in the polygon when the execution begins, and hence the information they initially encode is arbitrary.

研究动机与目标

• 解决在具有障碍物和有限视野的多边形 $P$ 中，$k \geq 2$ 个匿名、无记忆机器人之间的分布式会面问题。
• 最小化为确保至少两个机器人最终会面而所需的机器人数量 $k$，无论初始位置如何。
• 设计自稳定算法，即使在初始状态任意或具有误导性时也能正常工作。
• 使无记忆机器人仅通过圆规构造计算并移动到目标位置。
• 在质心不在洞中的多边形中实现最优性能，仅使用两个机器人。

提出的方法

• 利用多边形的旋转对称性 $\sigma$ 确定解决可解性所需的最少机器人数量 $k = \sigma + 1$。
• 设计一种几何定位策略，使无记忆机器人通过空间位置编码信息，实现在无持久记忆情况下的计算。
• 仅使用圆规构造，使每个机器人能够基于当前位置和多边形几何结构计算下一步移动。
• 通过使算法对任意初始配置（包括具有误导性的初始记忆状态）具有鲁棒性，确保自稳定。
• 应用基于质心的判据，识别出 $k=2$ 个机器人足以解决问题的多边形，并为此类情况设计专用算法。
• 在标准的 Look-Compute-Move 模型中形式化该算法，支持异步、匿名机器人，且无需共享坐标系或方向共识。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $\sigma$ 阶旋转对称性的多边形，最少需要多少个匿名、无记忆机器人，才能保证会面？
• RQ2 在无洞多边形或质心不在洞中的多边形中，是否能仅用两个机器人解决会面问题？
• RQ3 无记忆的机器人如何在多边形环境中以自稳定方式计算并执行移动决策？
• RQ4 在何种几何构型下，机器人能够仅通过基于圆规的构造和无需共享坐标系的方式实现会面？
• RQ5 多边形结构的哪些条件（例如质心位置、对称性）能够实现最优机器人数量和自稳定行为？

主要发现

• 对于具有 $\sigma$ 阶旋转对称性的多边形，$k = \sigma + 1$ 个机器人既足够也必要以解决会面问题。
• 在质心不在洞中的多边形中，会面问题可仅用 $k = 2$ 个机器人最优解决。
• 所提出的算法具有自稳定性，即使机器人从任意初始位置和具有误导性的初始记忆状态开始，也能正确运行。
• 无记忆机器人可通过几何定位编码信息，仅使用圆规构造计算目标位置来执行算法。
• 这些算法在异步、匿名、无记忆的 Look-Compute-Move 模型中具有鲁棒性，无需共享坐标系或对顺时针方向达成共识。
• 该解决方案计算开销轻量，仅依赖基本算术和几何构造，可在标准机器人模型中实现。