[論文レビュー] Slices of motivic Landweber spectra

Markus Spitzweck|ArXiv.org|May 21, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、VoevodskyのMGLに対する予想のもとで、モチビックLandweberスペクトルのスライスに関する一般的結果を確立する。2段階の手法——まず、EがLandweber正確なときの形 MGL ∧ E のスペクトルに対して結果を証明し、次に余シンプレックス的解体を用いる——を用いて、このようなスペクトルのスライスがモチビックEilenberg-MacLaneスペクトルHとMUのホモトピー群によって決定されることを示し、Conner-Floyd同型のモチビック類似を確認するとともに、コhomological Landweber正確性をすべてのコンパクトスペクトルへ拡張する。

ABSTRACT

We show that the Conjecture of Voevodsky concerning slices of the algebraic cobordism spectrum MGL implies a general statement about the slices of motivic Landweber spectra. In particular it confirms the possible approach suggested by Voevodsky for the computation of the slices of the homotopy algebraic K-theory spectrum KGL via a Conner-Floyd isomorphism complementing Levine's unconditional proof of these slices over perfect fields. A similar result, and Voevodsky's conjecture over fields of char. 0, are also announced by Hopkins-Morel.

研究の動機と目的

• VoevodskyのMGLに関する予想のもとで、モチビックLandweberスペクトルのスライスに関する一般的記述を証明すること。
• [13]で示唆されたKGLのスライスを計算する戦略——Conner-Floyd同型を用いるもの——が実現可能かどうかを検証すること。
• モチビック安定カテゴリにおけるコホモロジー的Landweber正確性を、強く双対可能なものに限らず、すべてのコンパクトスペクトルへ拡張すること。
• 予想のもとで、MGLの第0スライスがモチビックEilenberg-MacLaneスペクトルHに一致することを確立すること。
• 余シンプレックス的解体を用いて、スライスフィルトレーションがモチビックLandweber正確性条件と良好に作用することを示すこと。

提案手法

• MU-ホモロジーの射影次元に関する位相的結果を用いて、EがLandweberスペクトルである形のMGL ∧ Eのスペクトルに対するスライス分解を証明する。
• スライスフィルトレーションのラックステンソル関手構造を用いて、s*(E) ∧ s*(F) と s*(E ∧ F) を関連づけ、環および加群構造を保存する。
• 一般のLandweberスペクトルをMGL ∧ Eの形のスペクトルによる余シンプレックス的解体として構成し、第一のケースへの還元を可能にする。
• モチビックK理論におけるConner-Floyd同型を適用して、MGL**X ⊗ MU* Z[u,u⁻¹] と KGL**X を関連づけ、予想されるスライス構造を支援する。
• H-加群の導来カテゴリを用いて、フェイント写像を分析し、Landweberスペクトルのフェイント同値関係における一意性を確立する。
• Landweber正確性を満たすすべてのM*に対して、自然な写像 α_M*,X: MGL**X ⊗_MU* M* → E**X がコンパクト対象で同型であることを証明し、コホモロジー的Landweber正確性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VoevodskyのMGLのスライスに関する予想は、モチビックLandweberスペクトルのスライスに関する一般的記述を示唆するか？
• RQ2 KGLのスライスを計算するためのConner-Floyd同型戦略は、MGLとLandweber正確性を用いて実現可能か？
• RQ3 モチビック設定において、コホモロジー的Landweber正確性は、強く双対可能なものに限らず、すべてのコンパクトスペクトルに対して成り立つか？
• RQ4 予想のもとで、MGL ∧ E のスライスは Σ_T^i H ⊗ π_2i(MU) と同型か？
• RQ5 フェイント写像は、モチビックLandweberスペクトルの構成と一意性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• Voevodskyの予想のもとで、Landweber正確なEに対するMGL ∧ Eのスライスは、Σ_T^i H ⊗ π_2i(MU) と同型である。
• すべてのコンパクトXおよびLandweber正確性を満たすすべてのM*に対して、写像 α_M*,X: MGL**X ⊗_MU* M* → E**X は同型である。
• コホモロジー的Landweber正確性は、SH(S)_Tにおけるすべてのコンパクトスペクトルに対して成り立ち、強く双対可能なものに限らない。
• 予想のもとで、MGLの第0スライスはモチビックEilenberg-MacLaneスペクトルHに一致する。
• D_MGL,T から生じるSH(S)_Tにおけるフェイント写像は、SH(S)においてもフェイントであるため、Landweberスペクトルはフェイント同値関係において一意である。