[논문 리뷰] Small k-pairable states

Nathan Claudet, Mehdi Mhalla외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 18.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확률적 방법을 사용하여 소수의 k-페어러블 그래프 상태를 구성하며, 이전 연구에서 요구한 지수적 n = 2³ᵏ에 비해 훨씬 개선된 다항식 n = O(k³ ln³k)의 k-페어러블 n-qubit 상태가 존재함을 입증한다. 구성은 정점-소수 유니버설리티에 기반하며, 국소 그래프 차수에 기반한 페어러블리티에 대한 한계를 설정한다.

ABSTRACT

A $k$-pairable $n$-qubit state is a resource state that allows Local Operations and Classical Communication (LOCC) protocols to generate EPR-pairs among any $k$-disjoint pairs of the $n$ qubits. Bravyi et al. introduced a family of $k$-pairable $n$-qubit states, where $n$ grows exponentially with $k$. Our primary contribution is to establish the existence of 'small' pairable quantum states. Specifically, we present a family of $k$-pairable $n$-qubit graph states, where $n$ is polynomial in $k$, namely $n=O(k^3\ln^3k)$. Our construction relies on probabilistic methods. Furthermore, we provide an upper bound on the pairability of any arbitrary quantum state based on the support of any local unitary transformation that has the shared state as a fixed point. This lower bound implies that the pairability of a graph state is at most half of the minimum degree up to local complementation of the underlying graph, i.e., $k(|G angle)\le \lceil δ_{loc}(G)/2 ceil$. We also investigate the related combinatorial problem of $k$-vertex-minor-universality: a graph $G$ is $k$-vertex-minor-universal if any graph on any $k$ of its vertices is a vertex-minor of $G$. When a graph is $2k$-vertex-minor-universal, the corresponding graph state is $k$-pairable. More precisely, one can create not only EPR-pairs but also any stabilizer state on any $2k$ qubits through local operations and classical communication. We establish the existence of $k$-vertex-minor-universal graphs of order $O(k^4 \ln k)$. Finally, we explore a natural extension of pairability in the presence of errors or malicious parties and show that vertex-minor-universality ensures a robust form of pairability.

연구 동기 및 목표

• k에 대해 다항식 수준의 큐비트를 가진 k-페어러블 양자 상태가 존재할 수 있는지 여부를 해결하는 것, 이는 이전 연구에서 요구한 지수적 크기와 대비된다.
• 그래프 상태의 k-페어러블리티와 k-정점-소수 유니버설리티라는 조합적 성질 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 국소 유니터리 고정점의 지지도를 기반으로 한 어떤 양자 상태의 k-페어러블리티에 대한 상한을 유도하는 것.
• 정점-소수 유니버설리티를 활용하여 오류 또는 악성 당사자 존재 하에서의 페어러블리티의 강건성에 대해 연구하는 것.
• 소수의 k-페어러블 상태의 존재성에 대한 비구성적 증명을 제공하여 향후 명시적 구성 방법을 촉진하는 것.

제안 방법

• 확률적 방법을 사용하여 n = O(k³ ln³k) 큐비트를 가진 k-페어러블 그래프 상태의 존재성을 증명하며, 이러한 상태가 양의 확률로 존재함을 보여준다.
• 그래프 상태 |G⟩가 k-페어러블임은 그 기저가 되는 그래프 G의 모든 크기 k의 매칭이 G의 정점-소수임과 동치임을 확립한다.
• 특히 국소 보완과 정점 삭제를 포함한 그래프 이론 도구를 적용하여 CLOCC(클리포드 작용, 파울리 측정, 고전적 통신)를 통해 LOCC 프로토콜을 시뮬레이션한다.
• 계산 기저 측정과 Z 보정을 통한 정점 삭제가 EPR 쌍이나 스테이블라이저 상태와 같은 목표 상태를 생성할 수 있음을 이용한다.
• k-페어러블리티에 대한 상한을 도출한다: k(|G⟩) ≤ ⌈δ_loc(G)/2⌉, 여기서 δ_loc(G)는 국소 보완 하에서의 최소 국소 차수이다.
• k-정점-소수 유니버설리티의 개념을 도입한다: 그래프 G가 k-정점-소수 유니버설리티를 가진다는 것은 k개 정점으로 이루어진 임의의 그래프가 G의 정점-소수임을 의미하며, 2k-정점-소수 유니버설리티는 k-페어러블리티를 암시함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k에 대해 다항식 수준의 큐비트를 가진 k-페어러블 양자 상태를 구성할 수 있는가, 이는 이전 연구에서 요구한 지수적 크기와 대비된다?
• RQ2 그래프 상태의 k-페어러블리티와 k-정점-소수 유니버설리티라는 조합적 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 기저가 되는 그래프의 구조적 성질에 기반하여 그래프 상태의 k-페어러블리티에 대해 어떤 상한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 정점-소수 유니버설리티는 오류 또는 악성 당사자가 존재하는 상황에서도 강건한 k-페어러블리티를 보장할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 LOCC와 클리포드 기반 프로토콜 사이의 격차를 보여주는, CLOCC 프로토콜을 통해 페어러블리티가 불가능한 k-페어러블 그래프 상태가 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 n = O(k³ ln³k)의 다항식 크기를 가진 k-페어러블 n-큐비트 그래프 상태의 존재성을 입증하며, 소수의 k-페어러블 상태 문제를 해결한다.
• 그래프 상태 |G⟩의 k-페어러블리티는 기저가 되는 그래프 G가 2k-정점-소수 유니버설리티를 가진다는 것과 동치임을 입증한다.
• 상한을 도출한다: k(|G⟩) ≤ ⌈δ_loc(G)/2⌉, 여기서 δ_loc(G)는 국소 보완 하에서의 최소 국소 차수이다.
• 2k-정점-소수 유니버설리티를 가진 그래프는 O(k⁴ ln k)개의 정점을 가진 채로 존재함을 보여주며, 이는 크기가 O(k⁴ ln k)인 k-페어러블 상태의 존재를 암시한다.
• 구성은 비구성적이다. 그러나 확률적 방법은 임의의 목표 k개의 EPR 쌍에 대해 필요한 국소 연산을 그레디 알고리즘을 사용해 다항식 시간 내에 계산할 수 있음을 보장한다.
• 정점-소수 유니버설리티는 오류 또는 악성 행동이 있는 양자 네트워크 상황에서도 기능을 유지하는 강건한 형태의 페어러블리티를 제공한다.