[論文レビュー] Special Polynomial Rings, Quasi Modular Forms and Duality of Topological Strings

Murad Alim, Emanuel Scheidegger+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau三foldのモジュล空間の特別な幾何から導かれる特別な多項式環を導入し、高(genus)トポロジカル弦振幅がこれらの環における多項式として globally に記述されることを示している。特定の幾何に対して、これらの環と擬モジュラー形式の環との同型を確立し、モジュル空間内の二つの展開領域を入れ替える自己同型（Fricke双対性）を同定し、トポロジカル弦双対性の幾何的実現を提供している。

ABSTRACT

We study the differential polynomial rings which are defined using the special geometry of the moduli spaces of Calabi-Yau threefolds. The higher genus topological string amplitudes are expressed as polynomials in the generators of these rings, giving them a global description in the moduli space. At particular loci, the amplitudes yield the generating functions of Gromov-Witten invariants. We show that these rings are isomorphic to the rings of quasi modular forms for threefolds with duality groups for which these are known. For the other cases, they provide generalizations thereof. We furthermore study an involution which acts on the quasi modular forms. We interpret it as a duality which exchanges two distinguished expansion loci of the topological string amplitudes in the moduli space. We construct these special polynomial rings and match them with known quasi modular forms for non-compact Calabi-Yau geometries and their mirrors including local P^2 and local del Pezzo geometries with E_5,E_6,E_7 and E_8 type singularities. We provide the analogous special polynomial ring for the quintic.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau三foldモジュル空間の特別な幾何から、高(genus)トポロジカル弦振幅を符号化するグローバル多項式環を構成すること。
• 特定の非コンパクトCalabi-Yau幾何とその鏡像に対して、これらの環と擬モジュラー形式の環との同型を確立すること。
• 擬モジュラー形式に作用する双対性自己同型（Fricke自己同型）を同定・解釈し、モジュル空間内の二つの異なる展開領域を入れ替える物理的双対性としての役割を明らかにすること。
• 局所P²および局所Eₙデル・ペッツォ幾何に対して、これらの環の生成子を用いたトポロジカル弦自由エネルギーの明示的多項式表現を提供すること。
• コンパクトなクインティック三foldへこの枠組みを拡張し、構成の普遍性を示すこと。

提案手法

• モジュル空間上の境界条件とホロモルフィック異常方程式を用いて、特別な幾何の多項式環を定義する。
• 周期関数と特別な座標から生成子を構成し、振幅のグローバルな正則性を保証する。
• 局所P²およびEₙ幾何に対して明示的な一致を用いて、既知の擬モジュラー形式の環と環構造を特定する。
• 擬モジュラー形式にFricke自己同型を適用し、弱い結合定数領域（z=0）と強い結合定数領域（z=∞）を入れ替える双対性として解釈する。
• 鏡映性を用いて、非コンパクト幾何におけるAモデル振幅をその鏡のBモデル周期関数に関連付ける。
• 既知のモジュラー形式とモノドロミー情報を利用して、生成子を用いた genus-3 自由エネルギーの明示的多項式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau三foldモジュル空間全体にわたり、高(genus)トポロジカル弦振幅をどのようにグローバルに記述できるか？
• RQ2 特別な幾何における周期関数と特別な座標から生成される環の代数的構造は何か？
• RQ3 これらの環がどの程度擬モジュラー形式の環と同型であり、その同型はどのように生じるか？
• RQ4 擬モジュラー形式に作用するFricke自己同型の幾何的・物理的解釈は何か？
• RQ5 この枠組みをクインティックのようないくつかのコンパクトCalabi-Yau三foldへ拡張できるか？

主な発見

• 局所P²の高(genus)トポロジカル弦振幅は、SL(2,Z)の擬モジュラー形式の環に同型な環の生成子に関する多項式として記述され、明示的な genus-3 自由エネルギーはT₂およびG₁に関する有理関数として与えられる。
• 局所E₈、E₇、E₆、E₅デル・ペッツォ幾何に対して、特別な多項式環は対応する例外的群に関連する擬モジュラー形式の環に同型であり、genus-3 振幅はT₂およびG₁を用いて明示的に計算されている。
• Fricke自己同型は擬モジュラー形式に作用し、弱い結合定数領域（z=0）と強い結合定数領域（z=∞）を入れ替える。これにより、トポロジカル弦双対性の幾何的実現が得られる。
• コンパクトクインティック三foldに対しても同様に環構造が構成され、非コンパクト幾何に限らない普遍性が示された。
• 局所E₈デル・ペッツォのgenus-3 自由エネルギーは、C₀およびT₂を含む係数の有理関数として計算され、t_c⁴までの次数で既知のモジュラー形式と一致する。
• 双対性変換は、z=0まわりのt_c展開とz=∞まわりの展開を入れ替え、結果として得られる表現はFricke自己同型の下での期待されるモジュラー性質と一致する。