[論文レビュー] Lectures on Mirror Symmetry and Topological String Theory

Murad Alim|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 88被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、鏡対称性およびトポロジカル弦理論について包括的なレビューを提供し、正則異常方程式における多項式構造を用いた高(genus)アモジュトの構成に焦点を当てる。Calabi-Yau多様体上での正確なアモジュトを計算するための再帰的技法を確立し、境界条件と多項式生成子を用いる。特に、5次3次元超曲面に対して高(genus)まで明示的な結果が得られる。

ABSTRACT

These are notes of a series of lectures on mirror symmetry and topological string theory given at the Mathematical Sciences Center at Tsinghua University. The N=2 superconformal algebra, its deformations and its chiral ring are reviewed. A topological field theory can be constructed whose observables are only the elements of the chiral ring. When coupled to gravity, this leads to topological string theory. The identification of the topological string A- and B-models by mirror symmetry leads to surprising connections in mathematics and provides tools for exact computations as well as new insights in physics. A recursive construction of the higher genus amplitudes of topological string theory expressed as polynomials is reviewed.

研究の動機と目的

• χ-環の変形のσ-模型実現について、教育的概説を提供すること。
• χ- conformal field theory をねじることで、A-およびB-モデルのトポロジカル弦理論がどのように得られるかを説明すること。
• 高(genus)アモジュトにおける多項式構造を用いて、正則異常方程式の再帰的解法を導出すること。
• これらの手法を用いて、鏡対称性を介して5次3次元超曲面のGromov-Witten不変量を計算すること。
• 特別座標およびモノドロミー情報がプリポテンシャルにおける正則的あいまい性を固定する役割を確立すること。

提案手法

• A-およびB-ねじりを用いて、χ=2の超 conformal 代数のチャーラル環からトポロジカル弦理論を構築する。
• B-モデル側でホッジ構造の変動および特別座標を用い、A-モデルへのミラー写像を定義する。
• tt*方程式および特別幾何学を用いて、多項式形式での正則異常方程式を導出する。
• 大複素構造およびコンパクト化特異点における境界条件を課し、正則的あいまい性を制約する。
• 多項式アンザッツ $\mathcal{F}^{(g)} \sim \frac{p(z_i)}{\Delta^{2g-2}}$ に基づく再帰的アルゴリズムを用いて、高(genus)アモジュトを計算する。
• 局所座標における有理関数として生成子と係数を固定し、5次超曲面における明示的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高(genus)アモジュトを再帰的多項式構造を用いて、どのように体系的に計算できるか。
• RQ2 チャーラル環およびその変形部分環は、A-およびB-モデルのトポロジカル弦理論を構築する上で果たす役割は何か。
• RQ3 大複素構造およびコンパクト化特異点における境界条件は、プリポテンシャルにおける正則的あいまい性をどのように制約するか。
• RQ4 トポロジカル弦理論におけるgenus $g$アモジュトの多項式形式の背後にある正確な数学的構造は何か。
• RQ5 鏡対称性を用いて、B-モデル周期積分を介して5次3次元超曲面のGromov-Witten不変量をどのように計算できるか。

主な発見

• 5次3次元超曲面のgenus 1アモジュトは、$ z\partial_z \mathcal{F}^{(1)} = \frac{1}{60}\left(-112 + 560K_z + 5P(1 + 30S^{zz})\right) $ として固定され、ここで $ P = \Delta^{-1} $ である。
• genus 2アモジュトは $ P $ および $ S^{zz} $, $ S^z $, $ S $ に関する有理関数として明示的に計算され、$ \mathcal{F}^{(2)} = \frac{1}{36000}\left(5P^2(37500(S^{zz})^3 + \cdots) + \cdots \right) $ が得られる。
• 高(genus)アモジュトの多項式構造と境界条件を組み合わせることで、5次超曲面上で非常に高(genus)までアモジュトを再帰的に決定可能である。
• コンパクト化特異点近傍における正則的あいまい性は $ \sim \frac{p(z_i)}{\Delta^{2g-2}} $ として記述され、$ p(z_i) $ はモノドロミーおよび特異点データによって制約された低次の多項式である。
• genus 1アモジュトにおける主要特異点の係数は、シュヴィンガーのループ積分から予測される $ b = n_H - n_V $ と一致し、非摂動的整合性が確認される。
• この手法により、Gromov-Witten不変量の再結合を用いて整数BPS状態の多重度が正しく計算され、トポロジカル弦生成関数の妥当性が裏付けられる。