[論文レビュー] Special Varieties and classification Theory

Frédéric Campana|ArXiv.org|Oct 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般型の軌道体への写像を持たない複素射影多様体である「特別」多様体の概念を導入し、一般型の軌道体を基とするファイブレーションの塔に分解する、標準的なファイブレーション「コア」を確立する。コア構成は、リー理論におけるレヴィ分解に類似した双有理分類枠組みを提供し、有理的連結性、Kodaira次元0、一般型を軌道体幾何学を通じて統一する。

ABSTRACT

A new class of compact Kähler manifolds, called special, is defined, which are the ones having no surjective meromorphic map to an orbifold of general type. The special manifolds are in many respect higher-dimensional generalisations of rational and elliptic curves. For example, we show that being rationally connected or having vanishing Kodaira dimension implies being special. Moreover, for any compact Kähler $X$ we define a fibration $c_X:X o C(X)$, which we call its core, such that the general fibres of $c_X$ are special, and every special subvariety of $X$ containing a general point of $X$ is contained in the corresponding fibre of $c_X$. We then conjecture and prove in low dimensions and some cases that: 1) Special manifolds have an almost abelian fundamental group. 2) Special manifolds are exactly the ones having a vanishing Kobayashi pseudometric. 3) The core is a fibration of general type, which means that so is its base $C(X)$,when equipped with its orbifold structure coming from the multiple fibres of $c_X$. 4) The Kobayashi pseudometric of $X$ is obtained as the pull-back of the orbifold Kobayashi pseudo-metric on $C(X)$, which is a metric outside some proper algebraic subset. 5) If $X$ is projective,defined over some finitely generated (over $\Bbb Q$) subfield $K$ of the complex number field, the set of $K$-rational points of $X$ is mapped by the core into a proper algebraic subset of $C(X)$. These two last conjectures are the natural generalisations to arbitrary $X$ of Lang's conjectures formulated when $X$ is of general type.

研究の動機と目的

• 軌道体幾何学を用いて、複素射影多様体の双有理分類枠組みを構築すること。
• 一般型の軌道体への写像を持たない多様体としての「特別」多様体の定義と特徴付けを行うこと。
• 多様体の最大の特別な部分多様体構造を捉える、標準的なファイブレーション「コア」を構成すること。
• 有理的連結性、κ=0、一般型の三つ巴を、1つの軌道体理論的枠組みで統一すること。
• ラングの予想を拡張し、特別多様体と双曲性、有理点、基本群の性質と関連付けること。

提案手法

• 多重ファイバーからの重複度を用いて、ファイブレーションに軌道体構造を定義する。
• 一般型の軌道体への非自明な写像を持たない多様体としての「特別」多様体の概念を導入する。
• 一般ファイバーが特別である最小のファイブレーションとして、コアファイブレーション c_X: X → C(X) を構成する。
• 繰り返し適用する軌道体イタカファイブレーションと有理的商を用いて、コア分解を構築する。
• ヴィエフェグの弱正則性およびイタカの C_{n,m} 予想の軌道体版を適用して、コアの性質を証明する。
• 有限エタール被覆および変形に関しての関手性と不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影多様体の双有理分類を、体系的に標準的成分に分解することは可能か？
• RQ2 その微分形式の層およびKodaira次元に関して、多様体が「特別」とされる条件は何か？
• RQ3 任意のコンパクトケーラー多様体に対してコアファイブレーションを標準的に構成可能であり、その普遍的性質は何か？
• RQ4 コアファイブレーションは、小林擬距離関数および双曲性とどのように関係するか？
• RQ5 特別多様体は、ラングの予想や基本群のアーベル性予想といった、算術的および幾何的予想をどの程度満たすか？

主な発見

• 複素射影多様体が特別であることと、任意の p>0 に対して Ω_X^p の最大Kodaira次元を持つ階数1の coherent な部分層（ボゴモロフ層）が存在しないことは同値である。
• コアファイブレーション c_X: X → C(X) は関手的であり、一般ファイバーが特別で、それと交わる任意の特別な部分多様体を含む。
• X が特別でない場合、コアファイブレーションの基底は一般型の軌道体であり、軌道体イタカ C_{n,m} 予想の特別な場合を確認する。
• 特別多様体は、ほぼアーベルな基本群とゼロの小林擬距離関数を持つと予想される。
• コアファイブレーションは、任意の多様体および軌道体へのラングの予想の自然な拡張を提供し、双有理幾何学と算術および双曲性を結びつける。
• コア構成は、すべてのコンパクトケーラー多様体に適用可能であり、代数的閉体上に拡張可能で、正標数では修正を要する。