[论文解读] Stable rationality of orbifold Fano threefold hypersurfaces

Takuzo Okada|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过普遍 CH₀-平凡性的特殊化方法与模 p 技术，解决了非常一般化的轨道 Fano 三叉加权超曲面的有理性和稳定有理性的判定问题。研究证明，所有指标为 1 或 2 的此类三叉加权超曲面均非稳定有理，除非是可能的立方三叉加权超曲面；在 27 个指标 >2 的族中，20 个是有理的，7 个不是稳定有理的，从而完全解决了除立方三叉加权超曲面外的所有问题。

ABSTRACT

We determine the rationality of very general quasismooth Fano 3-fold weighted hypersurfaces completely and determine the stable rationality of them except for cubic 3-folds. More precisely we prove that (i) very general Fano 3-fold weighted hypersurfaces of index 1 or 2 are not stably rational except possibly for the cubic threefolds, (ii) among the 27 families of Fano 3-fold weighted hypersurfaces of index greater than 2, very general members of specific 7 families are not stably rational and the remaining 20 families consists of rational varieties.

研究动机与目标

• 确定非常一般化的轨道 Fano 三叉加权超曲面的有理性和稳定有理性的判定。
• 将已知的稳定非有理性的结果推广至具有终端商数奇点的奇异或轻度奇异 Fano 三叉加权超曲面。
• 完成对全部 130 个轨道 Fano 三叉加权超曲面族的有理性分类，除立方三叉加权超曲面外。
• 检验基于绝对复杂度的有理性判别准则在三维情形下的紧致性。

提出的方法

• 应用 Voisin 原创、后由 Colliot-Thélène 和 Pirutka 扩展的普遍 CH₀-平凡性特殊化论证方法。
• 使用 Kollár 引入的模 p 技术以检测稳定非有理性的存在。
• 结合 CH₀-平凡性特殊化与模 p 约化技术，分析族之间的稳定有理性。
• 显式计算加权超曲面 X_d ⊂ ℙ(a₀,…,a₄) 的指标 α = ∑a_i − d，以按指标对族进行分类。
• 构造具有绝对复杂度 γ = 3/2 的对数可 canonical 对 (X, Δ)，以检验有理性判别准则的紧致性。
• 通过爆破与轨道图册，验证在奇点处对 (X, Δ) 的对数可 canonical 性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非常一般化的指标为 1 或 2 的 Fano 三叉加权超曲面是否为稳定有理的？
• RQ2 在 27 个指标 >2 的 Fano 三叉加权超曲面族中，哪些族不是稳定有理的？
• RQ3 基于绝对复杂度 γ < 3/2 的有理性判别准则在三维情形是否紧致？
• RQ4 CH₀-平凡性特殊化与模 p 约化相结合的方法能否检测奇异 Fano 三叉加权超曲面的稳定非有理性？
• RQ5 立方三叉加权超曲面在 Fano 三叉加权超曲面中的稳定有理性状态如何？

主要发现

• 非常一般化的指标为 1 的 Fano 三叉加权超曲面不是稳定有理的。
• 非常一般化的指标为 2 的 Fano 三叉加权超曲面不是稳定有理的，除非是立方三叉加权超曲面。
• 在 27 个指标 >2 的族中，20 个族由有理曲面构成，而 7 个族的非常一般成员不是稳定有理的。
• 基于绝对复杂度 γ < 3/2 的有理性判别准则在三维情形是紧致的，如通过一个 γ = 3/2 的反例所证明。
• Fano 三叉加权超曲面 X₆ ⊂ ℙ(1,1,2,2,3) 不是（稳定）有理的，且其类群满足 Cl(X) ≅ ℤ，无 2-挠。
• 示例 X₆ ⊂ ℙ(1,1,2,2,3) 实现了 γ = 3/2，表明有理性判别准则中 γ < 3/2 的条件无法被削弱。