[論文レビュー] Stratifications of affine Deligne-Lusztig varieties

Ulrich Goertz|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コxeter型のすべての状況において、$σ$-中心化群に基づく$Π$-層化が、ブラハット＝ティツ層化と一致することを確立し、ChenとViehmannの予想を解決した。証明は、拡張されたアフィンワイル群における組合せ論的群論およびパラホリック部分群における相対的位置の性質に依拠している。

ABSTRACT

Affine Deligne-Lusztig varieties are analogues of Deligne-Lusztig varieties in the context of affine flag varieties and affine Grassmannians. They are closely related to moduli spaces of $p$-divisible groups in positive characteristic, and thus to arithmetic properties of Shimura varieties. We compare stratifications of affine Deligne-Lusztig varieties attached to a basic element $b$. In particular, we show that the stratification defined by Chen and Viehmann using the relative position to elements of the group $J_b$, the $σ$-centralizer of $b$, coincides with the Bruhat-Tits stratification in all cases of Coxeter type, as defined by X. He and the author.

研究の動機と目的

• 相対的位置が$σ$-中心化群$Π$の元を介して定義される$Π$-層化が、すべてのコxeter型の場合においてブラハット＝ティツ層化と一致することを証明すること。
• ハイパスペシャルレベル構造を仮定しない状況でも、$Π$-層化が局所的に閉じた部分集合への真の層化を定義できることを拡張すること。
• アフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体における幾何的層化の比較のための技術的基盤を提供すること。これは、そのコhomologyおよび算術的応用を理解するために不可欠である。
• Rapoport-Zink空間およびシムーラ多様体の文脈において、2つの層化の同値性に関するChenとViehmann（2018年）の予想を解決すること。

提案手法

• 拡張されたアフィンワイル群$χ$およびパラホリック部分群$χκ$を用いて、$G(χζ F)/χκ$上のind schemeとしてアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体$X_w(b)$を定義する。
• $j \in \mathbb{J}$（$b$の$σ$-中心化群）に対して相対位置写像$\mathrm{inv}_K(j,g)$を用いて$Π$-層化を定義し、層化が局所的に閉じていることを保証する。
• ルスティグの古典的デリーニュ＝ルスティグ多様体に関する結果を応用し、ブラハット＝ティツ層化が$Π$-層化の細分であることを示す。
• 特に、$w_0$-積における部分表現の分析を通じて、ワイル群元のサポートを分析するアフィンワイル群における組合せ論的議論を用いる。
• アフィンダイニン図と$σ$-安定な部分集合$\Sigma$, $\Sigma'$の構造を用いて、$P' \not\subseteq P$である場合、特に$\tilde{B}$型でサポートが線形に順序付けられていない場合を分析する。
• 補題3.14を適用して、$s_v$が$w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'}$のサポートに属することを示し、$W_K$に属さないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的位置が$σ$-中心化群$\mathbb{J}$の元を介して定義される$Π$-層化は、アフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体のすべてのコxeter型の場合において、ブラハット＝ティツ層化と一致するか？
• RQ2 ハイパスペシャルレベル構造の仮定なしに、$Π$-層化が局所的に閉じた部分集合への真の層化として厳密に定義可能か？
• RQ3 拡張されたアフィンワイル群の組合せ論と、$X_w(b)$における層化の幾何的構造との間の正確な関係は何か？
• RQ4 $σ$-安定な部分集合$\Sigma$, $\Sigma'$のサポートが線形に順序付けられていない場合、層化はどのように振る舞い、同値性は依然として確立可能か？

主な発見

• コxeter型のすべてのアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体において、$Π$-層化とブラハット＝ティツ層化が一致し、ChenとViehmannの予想が裏付けられた。
• ハイパスペシャルレベル構造の仮定なしに、$Π$-層化は局所的に閉じた部分集合への真の層化であることが保証された。
• 証明は、$s_v \in \mathrm{supp}(w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'})$ となるような$v \in \tilde{\mathbb{S}} \setminus K$が存在することを示すことにより、$w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'} \not\in W_K$を示すことに依拠している。これにより、二重cosetの不等号が示される。
• $\Sigma \cap P \neq \emptyset$ かつ $P' \not\subseteq P$ である臨界的状況では、アフィンダイニン図における経路を用いて、補題3.14の条件を満たすように列$t_0, \dots, t_r$を定義する。
• 鍵となる技術的ステップは、$\Sigma = \{t_0\}$ かつ $w_1$ が $W_P w_1 W_{P'}$ で非自明であるとき、$t_0 \in \mathrm{supp}(w_1)$ であることを示すことである。これにより、$s_v \in \mathrm{supp}(w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'})$ が保証され、必要な非属性が得られる。
• 結果は、サポートが非線形に順序付けられている$\tilde{B}$型の例を含む、すべてのコxeter型の状況において一様に成立し、特に最も繊細な議論が要求される状況でも成立する。