[论文解读] Strongly Monotone Drawings of Planar Graphs

Stefan Felsner, Alexander Igamberdiev+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文提出了用于构造3-连通平面图、外平面图和2-树的无交叉强单调图的算法，采用原始-对偶圆 packing和凸树图。关键贡献在于证明了这些图类可实现此类图，所有构造均需指数面积，而关于非树类图的多项式面积图仍为开放问题。

ABSTRACT

A straight-line drawing of a graph is a monotone drawing if for each pair of vertices there is a path which is monotonically increasing in some direction, and it is called a strongly monotone drawing if the direction of monotonicity is given by the direction of the line segment connecting the two vertices. We present algorithms to compute crossing-free strongly monotone drawings for some classes of planar graphs; namely, 3-connected planar graphs, outerplanar graphs, and 2-trees. The drawings of 3-connected planar graphs are based on primal-dual circle packings. Our drawings of outerplanar graphs are based on a new algorithm that constructs strongly monotone drawings of trees which are also convex. For irreducible trees, these drawings are strictly convex.

研究动机与目标

• 开发用于构造平面图无交叉强单调图的算法。
• 确立3-连通平面图、外平面图和2-树可实现此类图。
• 探讨强单调图的面积需求，并确定非树类图是否可实现多项式面积。
• 研究2-连通平面图是否存在强单调图，该类图尚未完全解决。

提出的方法

• 使用原始-对偶圆 packing 为3-连通平面图生成强单调图。
• 设计一种新算法，为树（特别是不可约树）生成凸且严格凸的强单调图。
• 通过气泡插入扩展图：在现有边附近的小半径气泡中插入新顶点，以保持强单调性。
• 通过控制边方向与指向目标顶点的向量之间的角度约束来确保强单调性，使用参数 r 和 ε，且 r/ε 较小。
• 通过保持角度安全条件（例如角度 < α/4）证明，通过新气泡重新路由路径可保持强单调性。
• 验证最终图保持平面性，并满足所有顶点对的强单调性定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 3-连通平面图能否以强单调性和平面性绘制？
• RQ2 外平面图是否可实现无交叉的强单调图？
• RQ3 2-树能否通过构造性算法实现强单调性和平面性？
• RQ4 非树类平面图的强单调图是否必须使用指数面积？
• RQ5 每个2-连通平面图是否都可实现强单调图？

主要发现

• 每个3-连通平面图均可通过原始-对偶圆 packing 实现无交叉强单调图。
• 外平面图可通过一种新颖算法实现无交叉强单调图，该算法用于凸和严格凸树图。
• 所有2-树均可实现无交叉强单调图，通过气泡插入和角度约束强制实现。
• 这三类图的构造均需指数面积，且该界对树类是紧的。
• 通过计算机辅助搜索识别出唯一一个7-顶点连通图无法实现强单调图，暗示一般情况下的局限性。