[论文解读] Structural Resolution: a Framework for Coinductive Proof Search and Proof Construction in Horn Clause Logic

Ekaterina Komendantskaya, Patricia Johann+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文提出结构化归结（structural resolution），一种用于霍恩子句逻辑中协同归纳证明搜索与构造的新框架，确保无限推导的生产力。通过重新定义归结以优先保证重写归约的终止性，该方法实现了对无限、有理与无理可生产项的可靠且可观测的推理——将逻辑编程与交互式定理证明及项重写系统中的协同归纳方法相连接。

ABSTRACT

Logic programming (LP) is a programming language based on first-order Horn clause logic that uses SLD-resolution as a semi-decision procedure. Finite SLD-computations are inductively sound and complete with respect to least Herbrand models of logic programs. Dually, the corecursive approach to SLD-resolution views infinite SLD-computations as successively approximating infinite terms contained in programs' greatest complete Herbrand models. State-of-the-art algorithms implementing corecursion in LP are based on loop detection. However, such algorithms support inference of logical entailment only for rational terms, and they do not account for the important property of productivity in infinite SLD-computations. Loop detection thus lags behind coinductive methods in interactive theorem proving (ITP) and term-rewriting systems (TRS). Structural resolution is a newly proposed alternative to SLD-resolution that makes it possible to define and semi-decide a notion of productivity appropriate to LP. In this paper, we prove soundness of structural resolution relative to Herbrand model semantics for productive inductive, coinductive, and mixed inductive-coinductive logic programs. We introduce two algorithms that support coinductive proof search for infinite productive terms. One algorithm combines the method of loop detection with productive structural resolution, thus guaranteeing productivity of coinductive proofs for infinite rational terms. The other allows to make lazy sound observations of fragments of infinite irrational productive terms. This puts coinductive methods in LP on par with productivity-based observational approaches to coinduction in ITP and TRS.

研究动机与目标

• 解决现有协同归纳逻辑编程方法依赖循环检测、无法保证无限推导中生产力的局限性。
• 为协同归纳证明搜索提供一种计算上可靠且语义上完备的框架，支持有理与无理可生产无限项。
• 使逻辑编程的协同归纳推理与交互式定理证明及项重写系统中使用的可观测生产力原则保持一致。
• 建立逻辑编程中生产力与项重写系统中归约终止性之间的正式联系，促进与重写系统研究的交叉融合。
• 通过引入基于无限计算可观测有限近似值的协同归纳证明原则，支持交互式定理证明与类型理论。

提出的方法

• 提出结构化归结作为新归结策略，通过聚焦于重写归约以确保生产力，替代传统的SLD归结。
• 基于重写归约的终止性定义可观测生产力的概念，确保无限推导产生可观测的有限片段。
• 提出两种算法：一种结合循环检测与可生产结构化归结，用于有理无限项；另一种支持对无理可生产项片段的惰性、可靠观测。
• 在归纳、协同归纳及归纳-协同归纳混合程序的Herbrand模型语义下，建立结构化归结的可靠性。
• 使用项树与重写树建模无限推导，形式化可生产协同归纳推理的操作语义。
• 利用余代数与双代数基础，将结构化归结与现有逻辑编程中的协同归纳与代数语义相连接。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使霍恩子句逻辑中的协同归纳证明搜索具备生产力，确保无限推导产生可观测的有限片段？
• RQ2 什么样的计算可靠且语义完备的操作语义适用于协同归纳逻辑编程，以支持有理与无理无限项？
• RQ3 如何定义结构化归结，以确保重写归约的终止性，从而在无限推导中保证生产力？
• RQ4 结构化归结以何种方式弥合了逻辑编程与交互式定理证明及项重写系统中可观测协同归纳之间的差距？
• RQ5 如何形式化并利用逻辑编程中生产力与项重写系统中终止性之间的联系以支持推理？

主要发现

• 结构化归结在归纳、协同归纳及归纳-协同归纳混合逻辑程序的Herbrand模型语义下具有可靠性。
• 该框架实现了对无限可生产项（包括有理与无理项）的逻辑蕴含的半可判定性。
• 所提出的算法保证了协同归纳证明的生产力：一种通过循环检测处理有理项，另一种支持对无理可生产项片段的惰性、可靠观测。
• 结构化归结中的生产力通过重写归约的终止性来定义，将逻辑编程的协同归纳与项重写系统中的终止性文献联系起来。
• 该方法与交互式定理证明（ITP）与项重写系统（TRS）中的可观测生产力一致，尤其体现在受保护核心cursion与时钟核心cursion的风格中。
• 该工作通过统一的、具备生产力感知的框架，为将类型推断与协同归纳推理扩展至更丰富的编程语言特性开辟了新途径。