[論文レビュー] Sub-Finsler Heisenberg Perimeter Measures

Andrew P. Sánchez|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、部分FinslerHeisenberg群における周囲測度と等周問題を調査し、ミンコフスキー内容をLebesgue表面積と双対ノルムを含む積分公式に還元する。計算例により、Pansuの予想—部分リーマン幾何におけるPansuバブル集合が一意な等周最適解であるという予想—が一般の部分Finsler計量へ拡張可能である可能性が示唆される。Minkowski内容および反Minkowski内容の両基準において、Pansuバブル集合が他の候補を上回る等周比を示している。

ABSTRACT

This work is an investigation of perimeter measures in the metric measure space given by the Heisenberg group with Haar measure and a Carnot-Carathéodory metric, which is in general a sub-Finsler metric. Included is a reduction of Minkowski content in any CC-metric to an integral formula in terms of Lebesgue surface area in $\mathbb{R}^3$. Using this result, I study two perimeter measures that arise from the study of Finsler normed planes, and provide evidence that Pansu's conjecture regarding the isoperimetric problem in the sub-Riemannian case appears to hold in the more general sub-Finsler case. This is contrary to the relationship between Finsler and Riemannian isoperimetrices. In particular, I show that for any CC-metric there exist a class of surfaces with Legendrian foliation by CC-geodesics generalizing Pansu's bubble set, but that even in their natural metric using either perimeter measure, the computed examples of such surfaces have lower isoperimetric ratio than the Pansu bubble set, which has Legendrian foliation by sub-Riemannian geodesics.

研究の動機と目的

• 一般のノルム平面から生じるCarnot-Carathéodory計量を備えたHeisenberg群における等周問題を調査し、部分リーマンの場合を越えて拡張する。
• 部分Finsler幾何における周囲測度の曖昧さを解消するため、2つの自然な定義（ミンコフスキー内容および反ミンコフスキー内容）を分析する。
• Pansuの予想—部分リーマンの場合にPansuバブル集合が一意な等周最適解であるという予想—が、より広範な部分Finsler設定でも成り立つかどうかを特定する。
• Legendrian foliationを有する測地線で構成される一般化された$Q$-バブル集合を構成し、その等周性能を評価する。
• Minkowski内容および反Minkowski内容の両方の周囲測度において、メトリック球、$Q$-バブル集合、Pansuバブル集合などの候補表面の等周比を計算・比較する。

提案手法

• 任意のCC計量においてミンコフスキー内容を、$\mathbb{R}^3$におけるLebesgue表面積の積分に還元する。この還元には双対ノルム$||\cdot||_{Q^*}$および単位法線ベクトル$\vec{n}$を用いる。
• 積分公式を用いて、特に多角形CC計量における$C^1$および$C^2$表面の周囲を計算し、平均曲率分布を分析する。
• $d_Q$-測地線による葉層構造を持つ$Q$-バブル集合を構成し、Pansuのバブル集合を部分Finsler設定へ一般化する。
• 積分公式を用いて、主な候補（Pansuバブル集合、$Q$-バブル集合、$Q^*$-バブル集合、メトリック球）の等周比を数値的に計算する。
• Minkowski内容および反Minkowski内容の両基準において等周比を比較し、最適性を評価する。
• 部分リーマン幾何で知られている境界を用いて、部分Finsler設定における等周定数の下限および上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のCC計量下で、Pansuバブル集合は部分FinslerHeisenberg群においても等周最適解のままなのか、それとも他の表面が最適化されるのか？
• RQ2 部分Finsler幾何における2つの自然な周囲測度（ミンコフスキー内容および反ミンコフスキー内容）はどのように振る舞い、最適性の順位付けが一貫しているのか？
• RQ3 部分Finsler計量におけるミンコフスキー内容は、Lebesgue表面積および双対ノルムを含む計算可能な積分に還元可能か？
• RQ4 非リーマン計量に一般化された$Q$-バブル集合は、Pansuバブル集合に比べて等周的に劣っているのか？
• RQ5 $||\cdot||_1$-に基づく部分Finsler計量において、Pansuバブル集合の等周比はメトリック球、$Q$-バブル集合、$Q^*$-バブル集合と比較してどうなるか？

主な発見

• Heisenberg群におけるCC計量$d_Q$を備えた$C^1$表面のミンコフスキー内容は、双対ノルム$||\cdot||_{Q^*}$および単位法線ベクトルを含む積分に還元され、明示的な計算が可能になる。
• 多角形CC計量では、$C^2$表面の平均曲率は$C^1$曲線および孤立点に集中しており、ほとんど everywhere でゼロであることが示され、部分リーマンの場合の定常平均曲率と整合的である。
• Minkowski内容下でPansuバブル集合の等周比は$0.357117$、反Minkowski内容下では$0.50504$であり、他のテストされた表面すべてを上回っている。
• $Q$-バブル集合（ダイヤモンドバブル集合）の等周比は、Minkowski内容下で$0.284938$、反Minkowski内容下で$0.379918$であり、劣性が示唆される。
• $Q^*$-バブル集合（正方形バブル集合）は、それぞれ$0.268642$および$0.228175$のより低い比を示し、さらに劣性が確認される。
• 一般にFinsler幾何ではリーマン的等周最適解がFinsler的等周最適解ではないが、元々部分リーマンの場合に予想されたPansuバブル集合が、部分Finsler$||\cdot||_1$の場合においても最適であるように見える。これはPansu予想の一般化が可能である可能性を示唆している。