[論文レビュー] Submodular Secretary Problems: Cardinality, Matching, and Linear Constraints

Thomas Keßelheim, Andreas Tönnis|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Optimization and Search Problems被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、基数制約、マッチング制約、線形パッキング制約を伴うサブモodラーセクレタリー問題に対する、新しいオンラインアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、オフライン近似アルゴリズムを活用することで、漸近的に $\alpha/e$ の競合比を達成する。再帰的でしきい値に基づく選択戦略を導入し、オフライン解を動的に活用してオンライン意思決定をガイドすることで、不確実性下でのサブモジュラ最大化における先行研究の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

We study various generalizations of the secretary problem with submodular objective functions. Generally, a set of requests is revealed step-by-step to an algorithm in random order. For each request, one option has to be selected so as to maximize a monotone submodular function while ensuring feasibility. For our results, we assume that we are given an offline algorithm computing an $α$-approximation for the respective problem. This way, we separate computational limitations from the ones due to the online nature. When only focusing on the online aspect, we can assume $α= 1$. In the submodular secretary problem, feasibility constraints are cardinality constraints. That is, out of a randomly ordered stream of entities, one has to select a subset size $k$. For this problem, we present a $0.31α$-competitive algorithm for all $k$, which asymptotically reaches competitive ratio $\fracα{e}$ for large $k$. In submodular secretary matching, one side of a bipartite graph is revealed online. Upon arrival, each node has to be matched permanently to an offline node or discarded irrevocably. We give an $\fracα{4}$-competitive algorithm. In both cases, we improve over previously best known competitive ratios, using a generalization of the algorithm for the classic secretary problem. Furthermore, we give an $O(αd^{-\frac{2}{B-1}})$-competitive algorithm for submodular function maximization subject to linear packing constraints. Here, $d$ is the column sparsity, that is the maximal number of none-zero entries in a column of the constraint matrix, and $B$ is the minimal capacity of the constraints. Notably, this bound is independent of the total number of constraints. We improve the algorithm to be $O(αd^{-\frac{1}{B-1}})$-competitive if both $d$ and $B$ are known to the algorithm beforehand.

研究の動機と目的

• アイテムの到着時に不可逆的な意思決定を迫られる制約下でのオンラインサブモジュラ最大化を扱う。
• 計算制限とオンライン意思決定コストを分離するため、$\alpha$-近似のオフラインアルゴリズムへのアクセスを仮定する。
• マトロイドおよび線形パッキング制約を伴うサブモジュラ目的関数への古典的セクレタリー問題の一般化を行う。
• 再帰的解析と適応的しきい値を用いて、先行研究を超えるサブモジュラーセクレタリー問題の競合比を向上させる。

提案手法

• 最初の $n/e$ 個のアイテムを拒否し、以降の各アイテムについて、これまでに到着したアイテムのオフライン解に含まれるかを確認する。
• 期待値の再帰的境界を用いて、選択された集合の期待値を分析し、オフラインアルゴリズムの近似保証 $\alpha$ に依存する。
• 線形パッキング制約の場合、列スパarsity $d$ および最小容量 $B$ の下で、一時的割り当ての妥当性を保証するためにチェルノフ不等式を適用する。
• 各意思決定段階の期待利益を含む再帰的関係式を解くことで、競合比を導出する。
• 現在の解の状態とオフライン近似の品質に基づいて、選択基準を動的に調整する。
• オフライン解を意思決定オракルとして用いることで、サブモジュラ関数への古典的セクレタリー手法のしきい値戦略を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数制約を伴うサブモジュラーセクレタリー問題に対して、単純で再帰的なオンラインアルゴリズムを用いて、$\alpha/e$ に近い競合比を達成できるか？
• RQ2 片側がオンラインで到着する二部グラフにおけるサブモジュラーセクレタリー・マッチングでは、どの程度の競合比が達成可能か？
• RQ3 線形パッキング制約を伴うサブモジュラーマクシマイゼーションにおいて、列スパarsity $d$ と最小容量 $B$ は、競合比にどのように影響するか？
• RQ4 オフラインに $\alpha$-近似アルゴリズムへのアクセスを仮定することで、オンラインサブモジュラーアルゴリズムの性能を計算複雑性から分離できるか？
• RQ5 再帰的期待値解析を用いて、複数のサブモジュラーセクレタリー問題の変種において、競合比を向上させる一般化されたフレームワークは存在するか？

主な発見

• 本稿では、基数制約を伴うサブモジュラーセクレタリー問題に対して、$0.31\alpha$-競合のアルゴリズムを提示し、先行研究を改善する。
• $k$ が十分に大きい場合、競合比は $\alpha/e$ に漸近的に近づき、古典的セクレタリー問題の最良既知の境界と一致する。
• サブモジュラーセクレタリー・マッチングに対しては、$\alpha/4$-競合のアルゴリズムが達成され、トランスバーサルマトロイド制約をカバーする。
• 線形パッキング制約の下では、制約数に依存しない $O(\alpha d^{-2/(B-1)})$-競合性が達成される。
• もし $d$ と $B$ が事前に分かっている場合、競合比は $O(\alpha d^{-1/(B-1)})$ に改善され、構造的パラメータへの依存性が向上することが示される。
• 再帰的解析フレームワークにより、期待値の増加をオフライン解の品質と確率的妥当性の観点から表現することで、タイトな境界が得られる。