[論文レビュー] Sur l'homologie des espaces de noeuds non-compacts

Victor Tourtchine|ArXiv.org|Oct 2, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ における $\mathbb{R}^d$ 内の非コンパクトな Knot 空間のホモロジーを計算する Vassiliev のスペクトル系列の第1項を、$d$ の偶奇に応じてポisson代数またはゲルステンハーバー代数のホッホシュילדホモロジーを用いて記述する。また、このホモロジーの部分空間としてのチェーン図のバイアルゲブラを同定し、特異点の分解の分解における補助的フィルトレーションを導入することで、スペクトル系列の第1項の計算を簡略化し、Knot 不変量とホモロジー代数における代数的構造との間の関係を確立する。

ABSTRACT

The spectral sequence constructed by V.A.Vassiliev computes the homology of the spaces of non-compact knots in ${\bf R}^d$, $d\ge 3$. In this work the first term of this spectral sequence is described in terms of the homology of the Hochschild complex for the Poisson algebras operad, if d is odd (resp. for the Gerstenhaber algebras operads, if d is even). In particular the bialgebra of chord diagrams arises as some subspace of this homology (in this case d=3). Also a simplification for the calculation of the Vassiliev spectral sequence in the first term is provided.

研究の動機と目的

• 非コンパクト Knot 空間の $\mathbb{R}^d$ 内（$d \geq 3$）におけるホモロジーを計算する Vassiliev スペクトル系列の第1項を記述すること。
• $d$ が奇数のときポアソン代数のホッホシュルドホモロジー、$d$ が偶数のときゲルステンハーバー代数のホッホシュルドホモロジーとこの第1項を関連付けること。
• チェーン図のバイアルゲブラが、このホモロジーの自然な部分空間として現れることを示すこと。
• 特異点の分解における補助的フィルトレーションを用いて、スペクトル系列の第1項の計算を簡略化すること。
• Knot 不変量とオペラッドや双次数代数などの代数的構造との間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• 非コンパクト Knot 空間における特異点集合 $\Sigma$ の特異点の分解 $\sigma$ を、単体的分解として用いる。
• $\sigma$ 上の自然なフィルトレーション $\sigma_0 \subset \sigma_1 \subset \cdots$ に伴うスペクトル系列を適用し、ボレル＝モーアホモロジーを計算する。
• 各項 $\sigma_i \setminus \sigma_{i-1}$ に補助的フィルトレーションを導入し、第2のスペクトル系列を構成する。このスペクトル系列の第1項は単一の行に集中する。
• 連結グラフの複体（$m$ 頂点）のホモロジーを計算し、これが $\mathbb{Z}^{(m-1)!}$ に同型であることを示す。これは重要な構成要素である。
• このホモロジーの双対空間が、$m$ 個の生成元をそれぞれ1回ずつ含む Lie 記述の部分空間に同型であることを同定し、これは $\mathbb{R}^d$ への単射写像の空間のコホモロジーに対応する。
• オペラッド構造（特にポアソン、ゲルステンハーバー、およびバタリン＝ヴィルコヴィスキー代数のオペラッド）を用いて、得られたホモロジーをホッホシュルド複体として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト Knot 空間の Vassiliev スペクトル系列の第1項は、既知のホモロジー不変量の観点から代数的にどのように記述できるか？
• RQ2 チェーン図のバイアルゲブラは、非コンパクト Knot 空間のホモロジーにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 環境次元 $d$ の偶奇は、Knot 空間ホモロジーの背後にある代数的構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 特異点の分解における補助的フィルトレーションを用いることで、スペクトル系列の第1項の計算を簡略化できるか？
• RQ5 ポアソン／ゲルステンハーバー代数のホッホシュルドホモロジーと非コンパクト Knot 空間のコホモロジーとの間の明確な関係は何か？

主な発見

• 非コンパクト Knot 空間の $\mathbb{R}^d$ 内における Vassiliev スペクトル系列の第1項は、$d$ が奇数のときポアソン代数のオペラッドのホッホシュルドホモロジーに同型であり、$d$ が偶数のときはゲルステンハーバー代数のオペラッドのホッホシュルドホモロジーに同型である。
• チェーン図のバイアルゲブラは、連結グラフの複体の構造に由来する自然な部分空間としてこのホモロジー内に現れる。
• $m$ 項点の連結グラフの複体のホモロジーは $\mathbb{Z}^{(m-1)!}$ に同型であり、単一の次数に集中する。
• このホモロジーの双対空間は、$m$ 個の生成子をそれぞれ1回ずつ含む Lie 記述の部分空間に同型であり、そのランクも $(m-1)!$ に等しい。
• $d$ が偶数のとき、バタリン＝ヴィルコヴィスキー代数のオペラッドのホッホシュルド複体は、一般化された $B_*$-図の複体と自然に同型であり、トポロジカルなオペラッドと Knot 不変量を結ぶ。
• 各 $\sigma_i \setminus \sigma_{i-1}$ 上の補助スペクトル系列は第2項で退化し、その第1項は単一の行に集中するため、主スペクトル系列の第1項の計算が簡略化される。