[论文解读] Symbolic extensions for partially hyperbolic diffeomorphisms

Lorenzo J. Díaz, Todd Fisher|ArXiv.org|Jun 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 17

一句话总结

本文证明了每个具有1维中心丛的偏双曲微分同胚都存在一个主符号扩张，其依据是渐近 h-扩张性。相反，本文还证明了在 C¹ 稠密性条件下，具有非双曲性稳定遍历集且中心丛维数至少为2的微分同胚不存在符号扩张，原因在于持续的同宿切线和不变测度中的熵增长。

ABSTRACT

We show that every partially hyperbolic diffeomorphism with a 1-dimensional center bundle has a principal symbolic extension. On the other hand, we show there are no symbolic extensions $C^1$-generically among diffeomorphisms containing non-hyperbolic robustly transitive sets with center indecomposable bundle of dimension at least 2.

研究动机与目标

• 确定非双曲系统中符号扩张存在的动力学条件。
• 研究中心丛维数与正则性在符号扩张存在性中的作用。
• 建立1维中心丛偏双曲微分同胚的主符号扩张的存在性。
• 证明在具有稳定遍历、非双曲性集合且中心丛维数 ≥2 的 C¹ 稠密微分同胚中，符号扩张不存在。
• 将持续同宿切线与熵增长联系起来，解释符号扩张失败的原因。

提出的方法

• 基于 Boyle、Fiebig 和 Misiurec 的先前结果，使用渐近 h-扩张性作为主符号扩张的充分条件。
• 应用 Buzzi 的结果：C∞ 微分同胚是渐近 h-扩张的，以建立1维中心情形下的存在性。
• 构造从属于划分的双曲基本集，以分析不变测度中的熵增长。
• 使用扰动技术在正规双曲曲面上构造二次同宿切线，将问题约化为二维动力系统。
• 应用熵结构理论与测度熵理论，证明熵差超过一个正阈值。
• 在 C¹ 拓扑中使用剩余集与稠密性论证，证明高维中心丛情形下的非存在性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有1维中心丛的偏双曲微分同胚在何种条件下存在主符号扩张？
• RQ2 在具有非双曲性稳定遍历集且中心丛维数 ≥2 的 C¹ 稠密微分同胚中，符号扩张是否可能存在？
• RQ3 持续同宿切线如何影响微分同胚中符号扩张的存在性？
• RQ4 与周期轨道相关的遍历测度中的熵增长如何阻碍符号扩张的存在？
• RQ5 中心丛的维数在多大程度上决定了符号扩张的存在或非存在？

主要发现

• 每个具有1维中心丛的偏双曲微分同胚都是渐近 h-扩张的，因此存在主符号扩张。
• 具有非双曲性稳定遍历集且中心丛维数至少为2的 C¹ 稠密微分同胚不存在符号扩张。
• 非存在性结果源于持续同宿切线，这些切线在不变测度中引发熵增长。
• 对每个此类稠密微分同胚，存在一个正阈值 ρ₀ = χr+1(g,U)/2，使得拓扑熵与划分熵之差的上极限超过 ρ₀。
• 构造出周期双曲基本集 Λ(q,n)，其遍历测度是周期测度的弱∗极限，且满足 hνn(g) > (n−1)/n · χr+1(q)。
• 对这些测度，划分 αk₀ 的熵为零，从而使得熵差能超过阈值 ρ₀，违反了符号扩张存在的必要条件。