[论文解读] The Ashtekar-Hansen universal structure at spatial infinity is weakly pseudo-Carrollian

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文证明了在渐近平直时空的时空无穷远处（Spi）的Ashtekar-Hansen普遍结构是一种弱伪卡鲁扎-卡拉比几何，其特征为在纤维化于3维德西特空间的4维流形上具有退化的洛伦兹度量。关键结果是Spi的渐近对称群（包括洛伦兹变换和超平移）与伪卡鲁扎-卡拉比结构的自同构群一致，从而将其与运动代数联系起来，并将BMS型对称性的框架扩展至时空无穷远处。

ABSTRACT

It is shown that Ashtekar and Hansens's Universal Structure at Spatial Infinity (SPI), which has recently be used to establish the conservation of supercharges from past null infity to future null infinity, is an example of a (pseudo-) Carollian structure. The relation to Kinematic Algebras is clarified.

研究动机与目标

• 确立在时空无穷远处（Spi）的Ashtekar-Hansen普遍结构可赋予伪卡鲁扎-卡拉比几何结构。
• 阐明Spi上退化度量作为弱伪卡鲁扎-卡拉比几何的角色，推广先前的黎曼卡鲁扎-卡拉比模型。
• 将Spi的渐近对称群与伪卡鲁扎-卡拉比流形的自同构群联系起来。
• 将Spi结构与运动代数及运动时空联系起来，特别是通过德西特与反德西特群的收缩。
• 将共形卡鲁扎-卡拉比结构的框架扩展至包含伪黎曼基底几何（如德西特与双曲空间）的情形。

提出的方法

• 本文将Spi构造为3维德西特空间dS₃上的主R-丛，其拉回度量为g₄ = π* g₃，其中g₃为基空间上的洛伦兹度量。
• 通过在4维流形C上定义一个退化对称双线性型g，结合一个处处非零且完备的向量场ξ（生成核），定义弱伪卡鲁扎-卡拉比结构。
• 该结构的自同构群被识别为保持g与ξ的微分同胚群，由此导出李代数条件L_X g = 0与L_X ξ = 0。
• 通过保持g⊗ξ^⊗N至多相差一个共形因子的变换，定义该结构的共形推广，从而导出共形卡鲁扎-卡拉比代数，其条件为L_X g = ωg与L_X ξ = -ω/N ξ。
• 通过类比运动代数，本文表明Spi的对称群G = SO(3,1) ⋉ T（其中T为超平移的阿贝尔群）与伪卡鲁扎-卡拉比流形的自同构群一致。
• 通过证明Spi作为5维反德西特时空中一个零超曲面出现，其上具有Bargmann结构，从而在基空间上诱导出双曲度量，建立其与运动时空的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时空无穷远处（Spi）的Ashtekar-Hansen普遍结构是否可实现为具有非退化洛伦兹基度量而非黎曼基度量的伪卡鲁扎-卡拉比几何？
• RQ2 Spi的自同构群（包括洛伦兹变换与超平移）与弱伪卡鲁扎-卡拉比流形的共形卡鲁扎-卡拉比群之间有何关系？
• RQ3 与对偶庞加莱群（AdSC）相关的运动代数能否扩展以描述Spi的对称结构？若能，其与dS₃几何有何关联？
• RQ4 在Spi的背景下，共形卡鲁扎-卡拉比群（N级）的作用是什么？其如何推广零无穷远处的BMS型对称性？
• RQ5 通过5维闵可夫斯基或AdS₅时空的零维约化，Spi的几何结构如何在基空间上产生双曲3几何？这对渐近对称性有何含义？

主要发现

• 在时空无穷远处的Ashtekar-Hansen普遍结构（Spi）被证明为弱伪卡鲁扎-卡拉比流形，其在4维流形上具有退化对称双线性型g，且其核由一个完备向量场ξ生成。
• 该伪卡鲁扎-卡拉比结构的自同构群与渐近平直时空在时空无穷远处的渐近对称群一致，包括洛伦兹变换与超平移。
• Spi的对称代数满足与伪卡鲁扎-卡拉比代数相同的李代数条件：L_X g = 0与L_X ξ = 0，确认其代数结构与弱伪卡鲁扎-卡拉比结构的一致性。
• 对称群的共形推广由共形卡鲁扎-卡拉比代数控制，其变换满足L_X g = ωg与L_X ξ = -ω/N ξ（ω为某函数）。
• Spi的基空间被识别为3维德西特空间dS₃，其携带常曲率的洛伦兹度量，使该结构真正为伪黎曼而非黎曼结构。
• Spi结构的几何起源可追溯至5维反德西特时空中的零超曲面，其在基空间上诱导出双曲3空间H³的上半空间模型，从而确认该几何的伪卡鲁扎-卡拉比本质。