[論文レビュー] The Calabi flow on Kähler surface with bounded Sobolev constant

Xiuxiong Chen, Weiyong He|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、Sobolev定数が一様に有界なKähler多様体上で、Calabi流れが常に有限時間内に発散するか、スカラー曲率が0のALE Kähler多様体に類する特異点を示すことを確立している。主な結果は、流れの極限における最大バブルが、スカラー曲率が0のALE Kähler多様体であることを示しており、特異点形成に強い幾何的制約を与え、自然な曲率およびエネルギーの有界性のもとで、全空間的全域存在性と extremal Kähler計量への収束を可能にする。

ABSTRACT

We consider the formation of singularities along the Calabi flow with the assumption of the uniform Sobolev constant. In particular, on Kähler surface we show that any "maximal bubble" has to be a scalar flat ALE Kähler metric. In some certain classes on toric Fano surface, the Sobolev constant is a priori bounded along the Calabi flow with small Calabi energy. Also we can show in certain case no maximal bubble can form along the flow, it follows that the curvature tensor is uniformly bounded and the flow exists for all time and converges to an extremal metric subsequently. To illustrate our results more clearly, we focus on an example on CP^2 blown up three points at generic position. Our result also implies existence of constant scalar curvature metrics on CP^2 blown up three points at generic position in the Kähler classes where the exceptional divisors have the same area.

研究の動機と目的

• 曲率が発散する際のKähler多様体上でのCalabi流れにおける特異点形成の理解を図ること。
• Kähler多様体上でのCalabi流れの最大バブル極限が、必ずスカラー曲率が0のALE Kähler多様体であることを確立すること。
• 正の第一チャーン類をもつトーリック多様体上で、CalabiエネルギーとSobolev定数が有界なもとで、Calabi流れの全域的存続性と extremal Kähler計量への収束を証明すること。
• Sobolev定数の幾何的有界性を保証する新しいエネルギー汎関数を用いて、Tianの錐条件をCalabi流れの設定に拡張すること。
• 非崩壊性と曲率制御を用いたバブル形成の排除のための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• スカラー曲率のLevi-Hessianから導かれる曲率発展方程式を有する4階放物型PDEとしてCalabi流れを分析すること。
• スケーリングされた計量の点付きGromov-Hausdorff収束を用いて、古代解をバブル極限として構成すること。
• c₁ > 0 であるKähler多様体上で、一般化されたTianの錐条件を用いてSobolev定数を幾何的に有界化すること。
• Calabiエネルギーを有界化し、一般化されたTianの錐条件を満たすために、新しい汎関数B([ω])を導入すること。
• トーリック対称性と正則な球面極限を用いて、交点数を保存し、無限遠で元の複素構造とbiholomorphicであることを保証すること。
• extremal計量の弱コンパクト性定理と連続的変形法を用いて、非自明なバブル形成を除外すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler多様体上でのCalabi流れに沿った最大バブルは、必然的にどのような幾何的構造を持つのか？
• RQ2 Sobolev定数が有界で、Calabiエネルギーが有限なKähler多様体上では、Calabi流れが常に有限時間内に存続するか？
• RQ3 どのようなKähler類の下でCalabi流れは extremal Kähler計量に収束するか？
• RQ4 c₁ > 0 であるKähler多様体上でのCalabi流れにおいて、Sobolev定数を一様に有界化するにはどうすればよいか？
• RQ5 Calabiエネルギーは、スカラー曲率が0のALE Kähler多様体に類するバブルの形成を防ぐために果たす役割は何か？

主な発見

• Kähler多様体上でのCalabi流れにおける最大バブルは、有限な全エネルギーをもつ、スカラー曲率が0のALE Kähler多様体である。
• c₁ > 0 で、一般化されたTianの錐に属するKähler類をもつKähler多様体では、Calabi流れは常に有限時間内に存続し、extremal Kähler計量に収束する。
• M = ℂP²♯3ℂP̄² において、初期計量が[ω]ₓ = 3H - x(E₁+E₂+E₃) で、∫R²dg₀ < B([ω]ₓ) を満たすとき、流れは全域的に存在し、一様に有界な曲率をもつ。
• 極限計量は、x ∈ (0, 3/2) に対して、[ω]ₓ 内の定数スカラー曲率Kähler計量である。x=1 ではKähler-Einsteinの場合を含む。
• 極限複素構造は元の構造とbiholomorphicであり、微分同相と正則な球面の保存により、extremal計量の存在が裏付けられる。
• 汎関数B([ω])は、Calabiエネルギーの鋭い上界を提供し、一般化されたTianの錐条件と流れの非崩壊性を保証する。