[論文レビュー] The closures of test configurations and algebraic singularity types

Tamás Darvas, Mingchen Xia|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 76被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ケーラー幾何におけるテスト配置の閉包と、擬・シュワルツ函数の空間における代数的特異型の閉包との間の深い双対性を確立する。geodesic レイの有限エネルギーと代数的特異型の間をラプラス変換によって結ぶことで、あるレイトがテスト配置によって近似可能であることと、そのラプラス変換がボナベロの正則的モース不等式を満たすことの必要十分条件であることを示し、両設定におけるコhomological およびポテンシャル理論的特徴づけを統一する。

ABSTRACT

Given a Kähler manifold $X$ with an ample line bundle $L$, we consider the metric space of $L^1$ geodesic rays associated to the first Chern class $c_1(L)$. We characterize rays that can be approximated by ample test configurations. At the same time, we also characterize the closure of algebraic singularity types among all singularity types of quasi-plurisubharmonic functions, pointing out the very close relationship between these two seemingly unrelated problems. By Bonavero's holomorphic Morse inequalities, the arithmetic and non-pluripolar volumes of algebraic singularity types coincide. We show that in general the arithmetic volume dominates the non-pluripolar one, and equality holds exactly on the closure of algebraic singularity types. Analogously, we give an estimate for the Monge--Ampère energy of a general $L^1$ ray in terms of the arithmetic volumes along its Legendre transform. Equality holds exactly for rays approximable by test configurations. Various other cohomological and potential theoretic characterizations are given in both settings. As applications, we give a concrete formula for the non-Archimedean Monge--Ampère energy in terms of asymptotic expansion, and show the continuity of the projection map from $L^1$ rays to non-Archimedean rays. We also show that the closure of ample test configurations and filtrations gives the same set of rays.

研究の動機と目的

• $L^1$ geodesic レイの空間におけるテスト配置によって誘導されるレイトの閉包を特徴づけること。
• 空間 $\mathcal{S}$ 内の特異型タイプの $d_{\mathcal{S}}$ プセウド距離に関する閉包を特徴づけること。
• テスト配置によるレイトの近似可能性と、それに対応するラプラス変換が代数的特異型タイプによって近似可能であることの同値性を示すことにより、二つの問題の双対性を確立すること。
• 一般に算術的体積が非多価的体積を支配することを示し、等号が成り立つのは特異型が代数的タイプの $d_{\mathcal{S}}$-閉包上にある場合に限ることを示すこと。
• $\mathcal{L}$-汎関数の漸近展開を用いて非アーケイメデス的 Monge–Ampère エネルギーの明示的公式を提示し、$L^1$ レイから非アーケイメデス的レイトへの射影の連続性を証明すること。

提案手法

• geodesic レイと特異型の間の関係を確立するためのラプラス変換 $\hat{r}_\tau = \inf_{t>0}(r_t - t\tau)$ の使用。
• Ross–Witt Nyström対応の応用により、テスト配置と特異型の間の双対性を拡張すること。
• 非多価的 Monge–Ampère 測度と空間 $\mathcal{R}^1$ 内の geodesic レイの $L^1$ geodesic 距離 $d_1^c$ の使用。
• 特異型タイプの $d_{\mathcal{S}}$-近似可能性を特徴づけるために、準同値近似 $[u_k]$ の使用。
• 定数 $C > 1$ を用いた三角不等式と崩壊推定による収束の証明（[DDNL21, 系 3.5] より）。
• $\mathcal{I}$-モデル性質と $P[u] = P[u]_\mathcal{I}$ の簡略化を用いて、特異型タイプの解析を簡素化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限エネルギー geodesic レイがテスト配置によって誘導されるレイトの閉包上にあるのはいつか？
• RQ2 特異型タイプが $d_{\mathcal{S}}$-閉包上に代数的特異型タイプがあるのはいつか？
• RQ3 一般の特異型タイプに対して、算術的体積と非多価的体積の関係は何か？
• RQ4 非アーケイメデス的 Monge–Ampère エネルギーと非アーケイメデス的 Donaldson $\mathcal{L}$-汎関数の漸近展開との関係は何か？
• RQ5 $L^1$ geodesic レイから非アーケイメデス的レイトへの射影は連続か？

主な発見

• geodesic レイ $\{r_t\}$ がテスト配置によって近似可能であることと、そのラプラス変換 $\hat{r}_\tau$ がボナベロの恒等式を満たすこと、すなわち $\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k^n} h^0(X, L^k \otimes \mathcal{I}(k\hat{r}_\tau)) = \frac{1}{n!} \int_X \omega_{\hat{r}_\tau}^n$ を満たすことの必要十分条件である。
• 一般に算術的体積は非多価的体積を支配するが、等号が成り立つのは特異型タイプが $d_{\mathcal{S}}$-閉包上に代数的タイプがある場合に限る。
• レイトの非アーケイメデス的 Monge–Ampère エネルギーは、非アーケイメデス的 Donaldson $\mathcal{L}$-汎関数の漸近展開における一次項に等しい。
• $L^1$ geodesic レイから非アーケイメデス的レイトへの射影写像は、$d_1^c$ 距離に関して連続である。
• 任意の $u \in \mathrm{PSH}(X,\omega)$ に対して、特異型タイプ $[u]$ が代数的タイプによって $d_{\mathcal{S}}$-近似可能であることと、$P[u] = P[u]_\mathcal{I}$ かつ $[u]$ がボナベロの恒等式を満たすことの必要十分条件である。
• $\lim_{k\to\infty} k^{-n} h^0(X, T \otimes L^k \otimes \mathcal{I}(ku)) > 0$ が成り立つのは、$\mathrm{nd}(L,u) = n$ のときに限る。これは $L$ が非常に正の場合に [Cao14, 系 3.6] を再証明する。