[论文解读] The effect of quantization on the FCIQMC sign problem

Michael Kolodrubetz, James S. Spencer+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Advanced Chemical Physics Studies参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文通过比较第一量化（Hartree 乘积）和第二量化（Slater 衍生式）基，分析了全配置相互作用量子蒙特卡洛（FCIQMC）中的费米子符号问题。证明了在未满足特定对称性条件时，第二量化基中的符号问题总是比第一量化基更轻微，表明即使没有湮灭过程，FCIQMC 也因其基的选择而天然地缓解了符号问题。

ABSTRACT

The sign problem in Full Configuration Interaction Quantum Monte Carlo (FCIQMC) without annihilation can be understood as an instability of the psi-particle population to the ground state of the matrix obtained by making all off-diagonal elements of the Hamiltonian negative. Such a matrix, and hence the sign problem, is basis dependent. In this paper we discuss the properties of a physically important basis choice: first versus second quantization. For a given choice of single-particle orbitals, we identify the conditions under which the fermion sign problem in the second quantized basis of antisymmetric Slater determinants is identical to the sign problem in the first quantized basis of unsymmetrized Hartree products. We also show that, when the two differ, the fermion sign problem is always less severe in the second quantized basis. This supports the idea that FCIQMC, even in the absence of annihilation, improves the sign problem relative to first quantized methods. Finally, we point out some theoretically interesting classes of Hamiltonians where first and second quantized sign problems differ, and others where they do not.

研究动机与目标

• 理解基的选择如何影响 FCIQMC 中的费米子符号问题。
• 比较第一量化（Hartree 乘积）与第二量化（Slater 衍生式）表示中符号问题的严重性。
• 识别两种基中符号问题相同或不同的条件。
• 确立 FCIQMC 相较于第一量化方法在符号问题上的改善，即使在无湮灭的情况下亦然。
• 识别在不同基中符号问题存在差异或保持等价的哈密顿量类别。

提出的方法

• 将 FCIQMC 的符号问题表述为具有所有负非对角线哈密顿量元素的矩阵的 psi-粒子种群对基态的不稳定性。
• 使用转移矩阵 U = I - HΔτ 来模拟 FCIQMC 中的虚时演化。
• 通过比较第一量化与第二量化表示中转移矩阵的最大特征值来量化符号问题的严重性。
• 应用变分原理，证明第一量化矩阵的主导特征值大于或等于第二量化矩阵的主导特征值。
• 推导出两种基中符号问题相同的条件，基于哈密顿量的对称性属性。
• 使用反称化算符 A 将两种基之间的矩阵元关联起来，并利用三角不等式和符号抵消，证明不等式 t̃F′ > t̃D。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，FCIQMC 中第一量化基与第二量化基的费米子符号问题相同？
• RQ2 第二量化基中的符号问题是否总是比第一量化基更轻微？
• RQ3 基的选择如何影响 FCIQMC 中转移矩阵的主导特征值？
• RQ4 哪些类别的哈密顿量在第一量化与第二量化表示中表现出不同的符号问题？
• RQ5 即使在无湮灭的情况下，FCIQMC 是否仍能相对于第一量化方法减轻符号问题？

主要发现

• 第二量化基中的符号问题总是比或等于第一量化基中的符号问题更轻微。
• 当且仅当哈密顿量满足特定对称性条件（如式 (17) 所定义）时，两种基中的符号问题才相同。
• 当对称性条件不满足时，第一量化转移矩阵的最大特征值严格大于第二量化矩阵的最大特征值，表明符号问题更严重。
• 由于基的选择，FCIQMC 即使在无湮灭的情况下也天然地改善了符号问题。
• 理论上存在一类哈密顿量，其在不同基中符号问题存在差异，也存在一类哈密顿量，其在不同基中符号问题保持等价，具体取决于哈密顿量的结构与对称性。
• 在 Δτ → 0 的极限下，哈密顿量矩阵的基态与转移矩阵的主导特征向量相同，验证了使用主导特征值作为符号问题严重性度量的合理性。