[論文レビュー] The homology of moduli stacks of complexes

Jacob Gross|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 77被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、曲線、表面、トーリック、フラッグ多様体など、クラス D に属する滑らかな複素射影多様体 X 上の完全複体のモジュライスタックの有理ホモロジーを計算し、それがトポロジカル K-理論群 $K^0_{\rm top}(X^{ m an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{ m an})$ から構成される一般化されたスーパーラティス頂点代数に同型であることを示している。この構成は、ユニバーサル複体のチャーン類と対称化されたオイラー形式を用いてジョイスの頂点代数枠組みを実現し、ドナルドソン–トーマス理論におけるウォールクロッシング公式の明示的実現を可能にする。

ABSTRACT

We compute the rational homology of the moduli stack $\mathcal{M}$ of objects in the derived category of certain smooth complex projective varieties $X$ including toric varieties, flag varieties, curves, surfaces, and some 3- and 4-folds. We identify Joyce's vertex algebra construction on $H_\ast(\mathcal{M},\mathbb{Q})$ with a generalized super-lattice vertex algebra associated to $K^0_{ m top}(X^{ m an}) \oplus K^1_{ m top}(X^{ m an})$.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素射影多様体 X がクラス D に属するとき、その完全複体のモジュライスタック $\mathcal{M}$ の有理ホモロジーを計算すること。
• $H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上のジョイスの頂点代数構造が、$K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})$ を基にした一般化されたスーパーラティス頂点代数と同型であることを特定すること。
• チャーン類とオイラー形式を用いた明示的実現を通じて、DT 理論におけるウォールクロッシング公式への応用を可能にする頂点代数作用素の具体的な実現を提供すること。
• 頂点代数構造が群コホモロジー類 $[\epsilon] \in H^2(K^0_{\rm sst}(X), \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の選択に依存しないことを確立すること。

提案手法

• Betti 実現を用いて、$\mathcal{M}$ が半トポロジカル K-理論空間 $\Omega^\infty K^{\rm sst}(X)$ の有理ホモトピー型をもつことを示す。
• ミルナー–ムーアの定理を適用し、Betti 数が有限であるとき、有理ホモロジーを $\mathbb{Q}[K^0_{\rm sst}(X)] \otimes {\rm SSym}_{\mathbb{Q}}[\bigoplus_{i>0} K^i_{\rm sst}(X)]$ として計算する。
• クラス D の多様体では $i > 0$ に対して $K^i_{\rm sst}(X) \cong K^i_{\rm top}(X^{\rm an})$ が成り立つことを利用し、トポロジカル K-理論がホモロジーを計算可能であることを保証する。
• ユニバーサル複体 $\mathbb{E}^\bullet$ を用いて、$X \times \mathcal{M}$ 上の頂点代数構造を構成し、$\mathcal{E}{\rm xt}^\bullet = \mathbb{R}\pi_* (\pi^*\mathbb{E}^\bullet)^\vee \otimes^L \pi^*\mathbb{E}^\bullet$ を用いる。
• 係数がオイラー形式 $\chi$ またはその対称化 $\chi_{\rm sym}$ によって定まる、$\mu_{\alpha,w,k}$ を用いた押し出しとカップ積を介した場 $Y(u_{0,v,1}, z)$ を定義する。
• 場の作用素が頂点代数の公理と一致することを示し、$\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q}) \cong V_{K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})}$ を通じて、次数付き頂点代数の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス D に属する滑らかな複素射影多様体 $X$ に対して、$X$ 上の完全複体のモジュライスタック $\mathcal{M}$ の有理ホモロジーは、トポロジカル K-理論とどのように関係するか？
• RQ2 $H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上のジョイスの頂点代数構造は、チャーン類とオイラー形式を用いて明示的に実現可能か？
• RQ3 $X$ がクラス D に属するとき、$H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上の正確な頂点代数構造は何か？ また、$X$ がカラビ–ヤウでない場合とどう異なるか？
• RQ4 $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上の場の作用素 $Y(u_{0,v,1}, z)$ は、次数付き頂点代数の公理とどのように一致するか？
• RQ5 符号の選択 $\epsilon_{\alpha,\beta} = (-1)^{\chi(\alpha,\beta)}$ に依存しない頂点代数構造が得られるか？

主な発見

• 滑らかな複素射影多様体 $X$ がクラス D に属するとき、有理ホモロジー $H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ は $\mathbb{Q}[K^0_{\rm sst}(X)] \otimes {\rm SSym}_{\mathbb{Q}}[\bigoplus_{i>0} K^i_{\rm sst}(X)]$ に同型であり、$i > 0$ に対して $K^i_{\rm sst}(X) \cong K^i_{\rm top}(X^{\rm an})$ が成り立つ。
• シフトされたホモロジー $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ は、オイラー形式 $\chi$ を用いた $K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})$ 上の一般化されたスーパーラティス頂点代数と同型な次数付き頂点代数構造をもつ。
• $X$ が $2n$-カラビ–ヤウであるとき、頂点代数はオイラー形式 $\chi$ を用いて定義されるが、それ以外の場合は対称化形式 $\chi_{\rm sym}$ を用いる。
• 場 $Y(u_{0,v,1}, z)$ は $\eta \in \hat{H}_*(\mathcal{M}_\alpha)$ に作用し、$u_{\alpha,v,i+1}\eta$ 項と $\mu_{\alpha,w,k}$ とのカップ積の和として表され、重みは $\chi(v,w)$ または $\chi_{\rm sym}(v,w)$ で与えられる。
• 頂点代数同型 $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q}) \cong V_{K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})}$ は、符号の選択 $\epsilon_{\alpha,\beta}$ に依存せず、同型の意味で不変である。
• この構成により、特に $Y(u_{0,v,1}, z)$ 場の $n$ 次成分を通じて、ドナルドソン–トーマス理論におけるウォールクロッシング公式の明示的実現が可能になる。