[논문 리뷰] The Hypotheses on Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Arbitrary Multiplicity and Their Partial Proof

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 47인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 임의의 다중성인 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 새로운 전개를 제시한다. 이 전개는 $L_2$ 노름에서 수렴하며, 단 한 번의 극한 전환만을 포함하기 때문에 유사한 이토 적분 전개보다 훨씬 단순하며, 이토 확률미분방정식의 수치적 적분에 매우 적합하다.

ABSTRACT

In this review article we collected more than ten theorems on expansions of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals, which have been formulated and proved by the author. These theorems open a new direction for study of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. The expansions based on multiple and iterated Fourier-Legendre series as well as on multiple and iterated trigonomectic Fourier series converging in the mean and pointwise are presented in the article. Some of these theorems are connected with the iterated stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. Also we consider two theorems on expansions of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k)$ as well as two theorems on expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized iterated Fourier series converging pointwise. On the base of the presented theorems we formulate 3 hypotheses on expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k).$ The mentioned iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion. Moreover, the considered expansions from these 3 hypotheses contain only one operation of the limit transition and substantially simpler than their analogues for iterated Ito stochastic integrals. Therefore, the results of the article can be useful for the numerical integration of Ito stochastic differential equations. Also, the results of the article were reformulated in the form of theorems of the Wong-Zakai type for iterated Stratonovich stochastic integrals.

연구 동기 및 목표

• 임의의 다중성인 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 효율적이고 수치적으로 다룰 수 있는 전개를 개발하기 위해.
• 기존 전개의 복잡성을 줄이기 위해 필요한 극한 전환의 수를 최소화하기 위해.
• 스트라토노비치 미적분을 사용한 확률미분방정식의 수치적 방법에 대한 이론적 기초를 구축하기 위해.
• 스트라토노비치 적분에 대한 일반화된 다중 푸리에 급수 전개에 대한 가설을 수립하여 $L_2$ 노름 수렴을 보장하기 위해.
• 반복 스트라토노비치 적분에 대해 Wong-Zakai 유형 정리로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 임의의 다중성 $k$에 대한 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 표현하기 위해 $L_2([t, T]^k)$에서의 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용한다.
• 일반화된 반복 푸리에 급수를 적용하여 스트라토노비치 적분의 점별 수렴을 달성한다.
• 다중 및 반복 삼각함수 및 레지온드르 다항식 급수를 사용하여 평균 및 점별 수렴을 확보한다.
• 힐버트 공간 $L_2([t, T]^k)$에서의 정규직교 전개 기반 전개를 유도하여 노름 수렴을 보장한다.
• 스트라토노비치 적분에 대한 일반화된 다중 푸리에 급수 수렴에 관한 세 가지 가설을 제시한다.
• 결과를 Wong-Zakai 유형 정리의 형태로 재구성하여 근사값과 확률과정의 약한 수렴을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 다중성인 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용해 $L_2$ 노름 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ2 이러한 전개에서 극한 전환의 수를 최소화하여 수치적 효율성을 높일 수 있는가?
• RQ3 제안된 스트라토노비치 전개와 기존의 이토 적분 전개 사이의 복잡성 관계는 어떠한가?
• RQ4 제안된 전개는 확률과정에 대해 Wong-Zakai 유형 정리로 재구성될 수 있는가?
• RQ5 스트라토노비치 적분에 대한 일반화된 반복 푸리에 급수의 점별 수렴 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 다중성 $k$에 대한 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 일반화된 다중 푸리에 급수 전개에 관한 세 가지 가설을 수립하였으며, 이는 $L_2([t, T]^k)$ 노름에서 수렴한다.
• 제안된 전개는 유사한 이토 적분 전개보다 훨씬 단순한 계산 구조를 가지며, 오직 한 번의 극한 전환만을 포함한다.
• 다중 및 반복 푸리에 급수 기반 전개는 평균 수렴과 점별 수렴 모두에서 수렴하여 강력한 수렴 보장을 제공한다.
• 결과는 Wong-Zakai 유형 정리의 형태로 재구성되어 근사값과 확률과정의 약한 수렴을 연결한다.
• 이 방법은 다중성 1에서 5까지의 반복 스트라토노비치 적분에 적용 가능하며, 임의의 $k \in \mathbb{N}$로 확장 가능하여 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.
• 이 접근법은 단순성과 수렴 성질 덕분에 이토 확률미분방정식의 수치적 적분을 위한 유망한 길을 제공한다.